Номер 87, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 87, страница 305.

Условие.

87. Дана арифметическая прогрессия ($a_n$). Заполните таблицу:

	$a_1$	$d$	$n$	$a_n$	$S_n$
а)	3			11	25
б)	4		5		30
в)		3	7		70
г)		-1		-10	-22

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Даны значения для арифметической прогрессии: первый член $a_1 = 3$, $n$-й член $a_n = 11$ и сумма первых $n$ членов $S_n = 25$. Необходимо найти количество членов $n$ и разность прогрессии $d$.

Для нахождения $n$ воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу: $25 = \frac{3 + 11}{2} \cdot n$ $25 = \frac{14}{2} \cdot n$ $25 = 7n$

Отсюда находим $n$: $n = \frac{25}{7}$

Теперь, зная $n$, найдем разность прогрессии $d$ по формуле $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим известные значения: $11 = 3 + (\frac{25}{7} - 1)d$ $11 - 3 = (\frac{25}{7} - \frac{7}{7})d$ $8 = \frac{18}{7}d$

Отсюда находим $d$: $d = 8 \cdot \frac{7}{18} = \frac{56}{18} = \frac{28}{9}$

Ответ: $d = \frac{28}{9}$, $n = \frac{25}{7}$.

б)

Даны значения: $a_1 = 4$, $n = 5$, $S_n = 30$. Необходимо найти разность $d$ и $n$-й член прогрессии $a_n$ (в данном случае $a_5$).

Используем формулу суммы для нахождения $a_5$: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставляем значения: $30 = \frac{4 + a_5}{2} \cdot 5$

Решаем уравнение относительно $a_5$: $6 = \frac{4 + a_5}{2}$ $12 = 4 + a_5$ $a_5 = 12 - 4 = 8$

Теперь найдем разность $d$ по формуле $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$ $a_5 = a_1 + (5-1)d$ $8 = 4 + 4d$ $4 = 4d$ $d = 1$

Ответ: $d = 1$, $a_5 = 8$.

в)

Даны значения: $d = 3$, $n = 7$, $S_n = 70$. Необходимо найти первый член $a_1$ и $n$-й член $a_n$ (в данном случае $a_7$).

Для нахождения $a_1$ используем другую формулу суммы: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставляем известные значения: $70 = \frac{2a_1 + (7-1) \cdot 3}{2} \cdot 7$

Решаем уравнение относительно $a_1$: $10 = \frac{2a_1 + 6 \cdot 3}{2}$ $10 = \frac{2a_1 + 18}{2}$ $10 = a_1 + 9$ $a_1 = 1$

Теперь, зная $a_1$, найдем $a_7$: $a_n = a_1 + (n-1)d$ $a_7 = 1 + (7-1) \cdot 3$ $a_7 = 1 + 6 \cdot 3 = 1 + 18 = 19$

Ответ: $a_1 = 1$, $a_7 = 19$.

г)

Даны значения: $d = -1$, $a_n = -10$, $S_n = -22$. Необходимо найти $a_1$ и $n$.

Для решения составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $n$.
1) Формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$
$-10 = a_1 + (n-1)(-1) \implies -10 = a_1 - n + 1$
Отсюда выразим $a_1$: $a_1 = n - 11$.

2) Формула суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
$-22 = \frac{a_1 + (-10)}{2} \cdot n \implies -44 = (a_1 - 10)n$

Подставим выражение для $a_1$ из первого уравнения во второе: $-44 = ((n - 11) - 10)n$ $-44 = (n - 21)n$ $n^2 - 21n + 44 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 44 = 441 - 176 = 265$

Так как дискриминант не является полным квадратом, корни будут иррациональными: $n = \frac{21 \pm \sqrt{265}}{2}$

Задача имеет два решения, так как оба корня для $n$ приводят к разным значениям $a_1$.
Решение 1:
$n_1 = \frac{21 - \sqrt{265}}{2}$
$a_1 = n_1 - 11 = \frac{21 - \sqrt{265}}{2} - 11 = \frac{21 - \sqrt{265} - 22}{2} = \frac{-1 - \sqrt{265}}{2}$

Решение 2:
$n_2 = \frac{21 + \sqrt{265}}{2}$
$a_1 = n_2 - 11 = \frac{21 + \sqrt{265}}{2} - 11 = \frac{21 + \sqrt{265} - 22}{2} = \frac{-1 + \sqrt{265}}{2}$

Ответ: $a_1 = \frac{-1 - \sqrt{265}}{2}$ и $n = \frac{21 - \sqrt{265}}{2}$, или $a_1 = \frac{-1 + \sqrt{265}}{2}$ и $n = \frac{21 + \sqrt{265}}{2}$.