Номер 86, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 86, страница 305.

Условие.

86. Что больше и на сколько: сумма всех четных чисел первой сотни или нечетных?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи необходимо найти сумму всех четных и всех нечетных чисел в первой сотне (от 1 до 100) и затем сравнить эти две суммы. Существует два способа это сделать.

Способ 1: Вычисление сумм с помощью формулы арифметической прогрессии.

Сначала найдем сумму всех нечетных чисел в первой сотне. Это числа: 1, 3, 5, ..., 99. Они образуют арифметическую прогрессию.
В первой сотне (от 1 до 100) ровно 50 нечетных чисел.
Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$.
Последний член $a_{50} = 99$.
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим наши значения, чтобы найти сумму нечетных чисел ($S_{нечет}$):
$S_{нечет} = \frac{1 + 99}{2} \cdot 50 = \frac{100}{2} \cdot 50 = 50 \cdot 50 = 2500$.

Теперь найдем сумму всех четных чисел в первой сотне. Это числа: 2, 4, 6, ..., 100. Они также образуют арифметическую прогрессию.
В первой сотне также 50 четных чисел.
Первый член этой прогрессии $b_1 = 2$.
Последний член $b_{50} = 100$.
Найдем сумму четных чисел ($S_{чет}$) по той же формуле:
$S_{чет} = \frac{2 + 100}{2} \cdot 50 = \frac{102}{2} \cdot 50 = 51 \cdot 50 = 2550$.

Теперь сравним полученные суммы:
Сумма четных чисел $S_{чет} = 2550$.
Сумма нечетных чисел $S_{нечет} = 2500$.
Очевидно, что $2550 > 2500$.
Найдем разницу между ними:
$S_{чет} - S_{нечет} = 2550 - 2500 = 50$.

Способ 2: Попарное сравнение чисел.

Этот способ более наглядный и не требует вычисления полных сумм. Вычислим разность между суммой всех четных и суммой всех нечетных чисел:
Разность = $(2 + 4 + 6 + ... + 100) - (1 + 3 + 5 + ... + 99)$.
Поскольку в обеих суммах одинаковое количество слагаемых (по 50), мы можем сгруппировать их попарно:
Разность = $(2 - 1) + (4 - 3) + (6 - 5) + ... + (100 - 99)$.
Каждое четное число на 1 больше предыдущего нечетного, поэтому разность в каждой паре равна 1.
Количество таких пар равно количеству четных чисел в первой сотне, то есть 50.
Следовательно, общая разность равна сумме 50 единиц:
Разность = $50 \times 1 = 50$.
Поскольку разность положительна, сумма четных чисел больше суммы нечетных на 50.

Ответ: сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы нечетных на 50.