Номер 85, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 85, страница 305.

Условие.

85. Найдите сумму всех:

а) четных чисел от 10 до 50;

б) чисел от 1 до 100;

в) двузначных чисел, кратных 5.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Последовательность четных чисел от 10 до 50 включительно (10, 12, 14, ..., 50) является арифметической прогрессией.
Первый член этой прогрессии $a_1 = 10$.
Последний член прогрессии $a_n = 50$.
Разность прогрессии $d = 2$.
Для нахождения суммы необходимо сначала определить количество членов $n$ в данной прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$50 = 10 + (n-1) \cdot 2$
$50 - 10 = (n-1) \cdot 2$
$40 = (n-1) \cdot 2$
$n - 1 = \frac{40}{2}$
$n - 1 = 20$
$n = 21$
Теперь, зная количество членов, найдем сумму прогрессии по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$:
$S_{21} = \frac{(10 + 50) \cdot 21}{2} = \frac{60 \cdot 21}{2} = 30 \cdot 21 = 630$.
Ответ: 630.

б) Последовательность чисел от 1 до 100 (1, 2, 3, ..., 100) также является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
Последний член прогрессии $a_n = 100$.
Разность прогрессии $d = 1$.
Количество членов $n = 100$.
Найдем сумму по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$:
$S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 101 \cdot 50 = 5050$.
Ответ: 5050.

в) Двузначные числа, кратные 5, образуют арифметическую прогрессию. Двузначными являются числа от 10 до 99.
Первое двузначное число, кратное 5, это $a_1 = 10$.
Последнее двузначное число, кратное 5, это $a_n = 95$.
Разность этой прогрессии $d = 5$.
Найдем количество членов $n$ в данной прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$95 = 10 + (n-1) \cdot 5$
$95 - 10 = (n-1) \cdot 5$
$85 = (n-1) \cdot 5$
$n - 1 = \frac{85}{5}$
$n - 1 = 17$
$n = 18$
Теперь найдем сумму этой прогрессии по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$:
$S_{18} = \frac{(10 + 95) \cdot 18}{2} = \frac{105 \cdot 18}{2} = 105 \cdot 9 = 945$.
Ответ: 945.