Номер 77, страница 304 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 77, страница 304.

Условие.

77. Укажите формулу n-го члена арифметической прогрессии:

а) $a_{n+1} = a_n + d;$

б) $a_{n+1} = a_n - d;$

в) $a_n = a_1 + nd;$

г) $a_n = a_1 + n(d - 1).$

Решение.

Решение 2 (rus).

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом $d$. Это число $d$ называется разностью арифметической прогрессии.

Существует две основные формулы для описания арифметической прогрессии:

1. Рекуррентная формула, которая выражает следующий член через предыдущий.
2. Формула n-го члена (явная формула), которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру $n$.

Вопрос требует указать формулу n-го члена. Стандартная формула n-го члена арифметической прогрессии выглядит так: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $n$ — номер члена, а $d$ — разность прогрессии.

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

а) $a_{n+1} = a_n + d$

Это рекуррентная формула для арифметической прогрессии. Она правильно описывает свойство прогрессии: каждый следующий член ($a_{n+1}$) получается из предыдущего ($a_n$) прибавлением разности ($d$). Хотя эта формула верна, она не является формулой n-го члена в явном виде, так как для вычисления $a_n$ нужно знать $a_{n-1}$.

б) $a_{n+1} = a_n - d$

Это также рекуррентная формула. Она описывает арифметическую прогрессию, у которой разность равна $-d$. Это частный случай арифметической прогрессии.

в) $a_n = a_1 + nd$

Это формула n-го члена в явном виде, но она неверна. Проверим ее для $n=2$. Согласно этой формуле, $a_2 = a_1 + 2d$. Однако, по определению, $a_2 = a_1 + d$. Равенство $a_1 + 2d = a_1 + d$ выполняется только при $d=0$, то есть для стационарной последовательности. В общем случае формула неверна.

г) $a_n = a_1 + n(d-1)$

Это также неверная формула n-го члена. Проверим ее для $n=2$. Формула дает $a_2 = a_1 + 2(d-1) = a_1 + 2d - 2$. Правильное значение $a_2 = a_1 + d$. Равенство $a_1 + 2d - 2 = a_1 + d$ выполняется только при $d=2$. Формула не является верной для произвольной арифметической прогрессии.

Заключение:

Ни один из предложенных вариантов в явном виде ($a_n = ...$) не является правильной формулой n-го члена арифметической прогрессии для общего случая. Правильная формула имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Скорее всего, в варианте г) допущена опечатка, и он должен был выглядеть как $a_n = a_1 + (n-1)d$. Если выбирать из предложенных вариантов, то вариант а) является единственной абсолютно верной формулой, описывающей любую арифметическую прогрессию, хоть и в рекуррентном виде.

Однако, так как вопрос явно просит "формулу n-го члена", правильным решением будет указать верную стандартную формулу.

Ответ: Правильная формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Среди предложенных вариантов в задании правильного ответа нет, наиболее вероятна опечатка в варианте г).