Номер 71, страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 71, страница 302.

Условие.

71. Запишите рекуррентную формулу последовательности чисел $(a_n)$, если известно, что:

a) $a_1 = 100$, а каждый ее следующий член на 5 меньше предыдущего;

б) $a_1 = -1$, а каждый ее следующий член больше предыдущего в 5 раз.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Рекуррентная формула задает каждый член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие члены. Для полного задания последовательности необходимо указать также один или несколько первых членов.
По условию, первый член последовательности $a_1 = 100$. Это начальное условие.
Далее сказано, что каждый ее следующий член на 5 меньше предыдущего. Обозначим $(n+1)$-й член как $a_{n+1}$, а предыдущий, то есть $n$-й член, как $a_n$. Условие "на 5 меньше" означает, что от предыдущего члена нужно отнять 5, чтобы получить следующий. Таким образом, мы можем записать формулу:
$a_{n+1} = a_n - 5$
Эта формула верна для любого натурального $n \ge 1$.
Объединяя начальное условие и саму формулу, получаем полное рекуррентное задание последовательности.
Ответ: $a_1 = 100$, $a_{n+1} = a_n - 5$.

б) Аналогично предыдущему пункту, нам нужно определить начальное условие и формулу, связывающую соседние члены последовательности.
По условию, первый член последовательности $a_1 = -1$.
Сказано, что каждый ее следующий член больше предыдущего в 5 раз. Это означает, что для получения $(n+1)$-го члена, нужно $n$-й член умножить на 5. Запишем это в виде формулы:
$a_{n+1} = a_n \cdot 5$ или $a_{n+1} = 5a_n$
Эта формула верна для любого натурального $n \ge 1$.
Объединяя начальное условие и формулу, получаем искомую рекуррентную формулу.
Ответ: $a_1 = -1$, $a_{n+1} = 5a_n$.