Номер 66, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 66, страница 301.

Условие.

66. Последовательность задана рекуррентной формулой $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$.
а) Найдите четвертый член этой последовательности.
б) Можно ли по этой формуле сразу найти $a_{100}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти четвертый член последовательности $a_4$, необходимо последовательно вычислить предыдущие члены, используя рекуррентную формулу $a_{n+1} = 2a_n + 1$ и известное значение первого члена $a_1 = 5$.

1. Вычисляем второй член последовательности, подставив $n=1$ в формулу:
$a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11$.

2. Вычисляем третий член последовательности, подставив $n=2$ в формулу:
$a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 11 + 1 = 22 + 1 = 23$.

3. Вычисляем искомый четвертый член последовательности, подставив $n=3$ в формулу:
$a_4 = 2a_3 + 1 = 2 \cdot 23 + 1 = 46 + 1 = 47$.

Ответ: 47.

б) Нет, по данной рекуррентной формуле $a_{n+1} = 2a_n + 1$ нельзя найти сотый член $a_{100}$ сразу, то есть в одно действие.

Рекуррентная формула определяет каждый следующий член последовательности через предыдущий. Это означает, что для вычисления $a_{100}$ необходимо знать значение $a_{99}$. В свою очередь, для вычисления $a_{99}$ нужно знать $a_{98}$, и так далее, вплоть до известного первого члена $a_1$. Таким образом, для нахождения $a_{100}$ по этой формуле потребуется выполнить 99 последовательных вычислений. Это не является прямым вычислением.

Для прямого вычисления можно вывести явную формулу n-го члена. Преобразуем данную последовательность. Рассмотрим вспомогательную последовательность $b_n = a_n + 1$. Тогда $a_n = b_n - 1$. Подставим это в исходное рекуррентное соотношение:
$b_{n+1} - 1 = 2(b_n - 1) + 1$
$b_{n+1} - 1 = 2b_n - 2 + 1$
$b_{n+1} = 2b_n$
Это означает, что последовательность $b_n$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=2$. Найдем ее первый член: $b_1 = a_1 + 1 = 5 + 1 = 6$.
Формула n-го члена для геометрической прогрессии $b_n$ имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, то есть $b_n = 6 \cdot 2^{n-1}$.
Теперь вернемся к исходной последовательности, выразив $a_n$ через $b_n$:
$a_n = b_n - 1 = 6 \cdot 2^{n-1} - 1$.
Эту явную формулу (формулу n-го члена) можно также записать в виде $a_n = 3 \cdot 2 \cdot 2^{n-1} - 1 = 3 \cdot 2^n - 1$.
Используя эту выведенную формулу, можно найти $a_{100}$ сразу, подставив $n=100$: $a_{100} = 3 \cdot 2^{100} - 1$. Однако это вычисление использует уже другую, явную формулу, а не исходную рекуррентную.

Ответ: Нет, нельзя, так как рекуррентная формула требует последовательного вычисления всех предыдущих членов.