Номер 62, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

II. Элементы комбинаторики. Тренировочные упражнения - номер 62, страница 301.

Условие.

62. Встретились $n$ друзей, и каждый из них пожал руку другу. Сколько было рукопожатий, если $n$ равно: а) 5; б) 7?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи нужно определить количество уникальных пар, которые можно составить из $n$ друзей. Каждое рукопожатие происходит между двумя людьми, и неважно, кто из них инициировал рукопожатие. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний из $n$ по 2.

Общая формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, мы выбираем группы по 2 человека для одного рукопожатия, поэтому $k=2$. Формула для количества рукопожатий будет:

Количество рукопожатий = $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Теперь применим эту формулу для каждого случая.

а) Если друзей было 5 ($n=5$):

Подставляем $n=5$ в формулу:

Количество рукопожатий = $\frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Ответ: 10 рукопожатий.

б) Если друзей было 7 ($n=7$):

Подставляем $n=7$ в формулу:

Количество рукопожатий = $\frac{7 \cdot (7-1)}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Ответ: 21 рукопожатие.