Номер 55, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

II. Элементы комбинаторики. Тренировочные упражнения - номер 55, страница 300.

Условие.

55. Найдите значение выражения:

а) $A_5^3$

б) $A_7^4$

в) $A_4^2 \cdot P_3$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для вычисления значения выражения $A_5^3$ (число размещений из 5 элементов по 3) используется формула $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В данном случае $n=5$ и $k=3$.
Подставим значения в формулу:
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!}$
Распишем факториалы и сократим:
$A_5^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.
Ответ: 60.

б) Для вычисления значения выражения $A_7^4$ (число размещений из 7 элементов по 4) используется формула $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В данном случае $n=7$ и $k=4$.
Подставим значения в формулу:
$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!}$
Распишем факториалы и сократим дробь:
$A_7^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$.
Ответ: 840.

в) Чтобы найти значение выражения $A_4^2 \cdot P_3$, необходимо вычислить каждый множитель по отдельности, а затем перемножить результаты.
1. Вычислим число размещений $A_4^2$ по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n=4$ и $k=2$:
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 12$.
2. Вычислим число перестановок $P_3$ по формуле $P_n = n!$, где $n=3$:
$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
3. Теперь перемножим полученные значения:
$A_4^2 \cdot P_3 = 12 \cdot 6 = 72$.
Ответ: 72.