Номер 53, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

II. Элементы комбинаторики. Тренировочные упражнения - номер 53, страница 300.

Условие.

53. Четыре спортсмена занимают 4 беговые дорожки произвольным образом. Сколькими способами они могут это сделать?

Решение.

Решение 2 (rus).

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики, а именно — с помощью перестановок. У нас есть 4 спортсмена и 4 беговые дорожки. Нужно найти количество способов, которыми можно распределить этих спортсменов по дорожкам. Так как каждый спортсмен уникален и каждая дорожка уникальна, и каждому спортсмену достается ровно одна дорожка, мы имеем дело с перестановкой из 4 элементов.

Рассмотрим процесс выбора дорожек последовательно для каждого спортсмена:

• Первый спортсмен может выбрать любую из 4-х дорожек. У него есть 4 варианта.
• После того, как первый спортсмен выбрал дорожку, для второго спортсмена остаются 3 свободные дорожки. У него есть 3 варианта.
• Третий спортсмен выбирает из оставшихся 2-х дорожек. У него есть 2 варианта.
• Четвертому спортсмену остается последняя, 1-я свободная дорожка. У него есть только 1 вариант.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить количество вариантов для каждого спортсмена (согласно правилу произведения в комбинаторике).

Общее количество способов равно произведению: $4 \times 3 \times 2 \times 1$.

Это произведение является факториалом числа 4 и обозначается как $4!$.

Формула для числа перестановок из $n$ элементов выглядит так: $P_n = n!$.

В данном случае $n=4$, поэтому количество способов равно:

$P_4 = 4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.

Таким образом, существует 24 способа разместить четырех спортсменов на четырех беговых дорожках.

Ответ: 24.