Номер 57, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

II. Элементы комбинаторики. Тренировочные упражнения - номер 57, страница 300.

Условие.

57. В соревнованиях по плаванию участвуют 6 человек. Сколько существует вариантов распределения трех первых мест между ними?

Решение.

Решение 2 (rus).

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Поскольку порядок распределения призовых мест (1-е, 2-е, 3-е) имеет значение, нам необходимо вычислить количество размещений, то есть упорядоченных наборов.

Способ 1: Использование правила умножения

Рассмотрим выбор победителей пошагово:
• На первое место может претендовать любой из 6 человек.
• После того, как обладатель первого места определен, на второе место могут претендовать оставшиеся 5 человек.
• На третье место, соответственно, остаются 4 претендента.
Общее количество вариантов равно произведению числа вариантов на каждом шаге:
$6 \times 5 \times 4 = 120$

Способ 2: Использование формулы для числа размещений

Число размещений из $n$ элементов по $k$ (обозначается $A_n^k$) вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В данном случае, общее число участников $n=6$, а количество призовых мест $k=3$.
Подставляем значения в формулу:
$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120$

Оба способа показывают, что существует 120 различных вариантов распределения первых трех мест.

Ответ: 120