Номер 56, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

II. Элементы комбинаторики. Тренировочные упражнения - номер 56, страница 300.

Условие.

56. Сколькими способами можно выбрать двух человек на две различные должности из четырех кандидатов?

Решение.

Решение 2 (rus).

В данной задаче нам необходимо выбрать 2 человека из 4 кандидатов на 2 различные должности. Ключевым моментом является то, что должности различные. Это означает, что порядок выбора кандидатов важен. Например, если мы выберем кандидата А на должность №1 и кандидата Б на должность №2, это будет один способ. А если мы выберем кандидата Б на должность №1 и кандидата А на должность №2 — это уже другой способ. Задачи такого типа решаются с помощью размещений.

Рассмотрим решение двумя способами.

Способ 1: Логическое рассуждение (правило произведения)

На первую должность можно назначить любого из четырех кандидатов. Таким образом, у нас есть 4 варианта выбора.

После того как один кандидат назначен на первую должность, на вторую должность остается 3 претендента. Следовательно, для каждого из 4-х вариантов выбора на первую должность существует 3 варианта выбора на вторую.

Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждой должности: $4 \times 3 = 12$.

Способ 2: Использование формулы размещений

Число способов выбрать и разместить $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов, называется числом размещений из $n$ по $k$. Оно вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число кандидатов $n = 4$, а количество должностей $k = 2$. Подставляем эти значения в формулу:

$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = \frac{24}{2} = 12$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 12