Номер 61, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

II. Элементы комбинаторики. Тренировочные упражнения - номер 61, страница 301.

Условие.

61. Сколькими способами можно распределить 6 человек по парам?

Решение.

Решение 2 (rus).

Эту задачу можно решить несколькими способами. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Последовательный выбор

Этот способ основан на последовательном формировании пар.

1. Возьмем любого одного человека. Ему в пару можно выбрать любого из оставшихся 5 человек. Таким образом, есть 5 вариантов для создания первой пары.

2. После того как первая пара сформирована, у нас осталось 4 человека. Возьмем любого из них. Ему в пару можно выбрать любого из оставшихся 3 человек. Таким образом, есть 3 варианта для создания второй пары.

3. Осталось 2 человека, которые автоматически образуют последнюю, третью пару. Здесь у нас только 1 вариант.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество вариантов на каждом шаге:

$N = 5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$

Этот метод интуитивно понятен и сразу дает правильный результат, поскольку мы не учитываем порядок выбора самих пар.

Способ 2: Использование комбинаторики (сочетаний)

Этот способ более формальный и использует формулу для числа сочетаний.

1. Сначала выберем 2 человека из 6 для формирования первой пары. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 6 по 2:

   $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

2. Далее, из оставшихся 4 человек выберем 2 для второй пары:

   $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

3. Оставшиеся 2 человека образуют последнюю пару единственным способом:

   $C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1$

4. Теперь, если мы просто перемножим полученные значения ($15 \cdot 6 \cdot 1 = 90$), мы получим количество способов, которыми можно выбрать три упорядоченные пары. Однако, в условии задачи порядок самих пар не имеет значения. Например, разделение на пары {(A,B), (C,D), (E,F)} — это то же самое, что и {(C,D), (A,B), (E,F)}. У нас 3 пары, и количество способов их переставить (упорядочить) равно $3!$.

   $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

5. Чтобы получить итоговое число неупорядоченных разбиений на пары, нужно результат произведения сочетаний разделить на количество перестановок пар:

   $N = \frac{C_6^2 \cdot C_4^2 \cdot C_2^2}{3!} = \frac{15 \cdot 6 \cdot 1}{6} = 15$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 15.