Номер 60, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

II. Элементы комбинаторики. Тренировочные упражнения - номер 60, страница 301.

Условие.

60. Найдите значение выражения:

а) $C_3^2$;

б) $C_4^3$;

в) $C_5^0 + C_5^1 + C_5^5$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти значение выражения $C_3^2$, воспользуемся формулой для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В данном случае $n=3$ и $k=2$.
Подставляем значения в формулу:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = \frac{6}{2} = 3$.
Также можно использовать свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$, тогда $C_3^2 = C_3^{3-2} = C_3^1 = 3$.
Ответ: 3.

б) Чтобы найти значение выражения $C_4^3$, воспользуемся той же формулой для числа сочетаний. Здесь $n=4$ и $k=3$.
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = \frac{24}{6} = 4$.
Используя свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$, получаем $C_4^3 = C_4^{4-3} = C_4^1 = 4$.
Ответ: 4.

в) Чтобы найти значение выражения $C_5^0 + C_5^1 + C_5^5$, нужно вычислить каждое слагаемое по отдельности и сложить результаты.
1. Вычислим $C_5^0$. По свойству сочетаний, $C_n^0 = 1$ для любого $n \geq 0$. Следовательно, $C_5^0 = 1$.
Расчет по формуле: $C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = \frac{5!}{1 \cdot 5!} = 1$.
2. Вычислим $C_5^1$. По свойству сочетаний, $C_n^1 = n$ для любого $n \geq 1$. Следовательно, $C_5^1 = 5$.
Расчет по формуле: $C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5 \times 4!}{1 \times 4!} = 5$.
3. Вычислим $C_5^5$. По свойству сочетаний, $C_n^n = 1$ для любого $n \geq 0$. Следовательно, $C_5^5 = 1$.
Расчет по формуле: $C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = \frac{5!}{5! \cdot 1} = 1$.
Теперь сложим полученные значения:
$C_5^0 + C_5^1 + C_5^5 = 1 + 5 + 1 = 7$.
Ответ: 7.