Номер 54, страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

II. Элементы комбинаторики. Тренировочные упражнения - номер 54, страница 300.

Условие.

54. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 3, 5, 8, не повторяя их в числе?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько различных двузначных чисел можно составить из набора цифр {3, 5, 8} при условии, что цифры в числе не повторяются.

Двузначное число состоит из двух позиций: разряда десятков (первая цифра) и разряда единиц (вторая цифра).

1. На первую позицию (разряд десятков) мы можем поставить любую из трех данных нам цифр: 3, 5 или 8. Таким образом, у нас есть 3 варианта для выбора первой цифры.

2. На вторую позицию (разряд единиц) мы можем поставить одну из оставшихся цифр. Так как по условию цифры не должны повторяться, то после выбора первой цифры у нас остается $3 - 1 = 2$ варианта для выбора второй цифры.

Чтобы найти общее количество возможных двузначных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это является основным правилом комбинаторики (правило умножения).

Число комбинаций = (количество вариантов для первой цифры) × (количество вариантов для второй цифры) = $3 \times 2 = 6$.

Также можно проверить результат, просто перечислив все возможные числа:

- Если первая цифра 3, то вторая может быть 5 или 8. Получаем числа: 35, 38.

- Если первая цифра 5, то вторая может быть 3 или 8. Получаем числа: 53, 58.

- Если первая цифра 8, то вторая может быть 3 или 5. Получаем числа: 83, 85.

Всего получается 6 различных чисел.

Данная задача также может быть решена с помощью формулы для нахождения числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=3$ (общее количество цифр) и $k=2$ (количество цифр в составляемом числе).

$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6$.

Ответ: 6