Номер 72, страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 72, страница 302.

Условие.

72. Составьте ряд из пяти любых последовательных натуральных чисел.

Объясните, почему сумма этих чисел делится на 5.

Решение.

Решение 2 (rus).

Составьте ряд из пяти любых последовательных натуральных чисел.
Примером такого ряда могут служить числа: 7, 8, 9, 10, 11.
Для проверки найдем их сумму: $7+8+9+10+11 = 45$. Число 45 делится на 5.
Ответ: 7, 8, 9, 10, 11.

Объясните, почему сумма этих чисел делится на 5.
Чтобы объяснить это свойство для любого ряда, представим его в общем виде. Пусть первое число в последовательности равно $n$, где $n$ — любое натуральное число.
Тогда пять последовательных натуральных чисел можно записать как: $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$.
Найдем сумму $S$ этих чисел:
$S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$
Сгруппируем слагаемые:
$S = (n+n+n+n+n) + (1+2+3+4) = 5n + 10$
В полученном выражении $5n + 10$ можно вынести за скобки общий множитель 5:
$S = 5(n+2)$
Поскольку $n$ — натуральное число, то $n+2$ — также натуральное (или целое) число. Сумма $S$ представлена как произведение числа 5 на целое число $(n+2)$. Согласно определению делимости, любое число, являющееся произведением 5 и другого целого числа, делится на 5.
Ответ: Сумма пяти последовательных натуральных чисел может быть выражена формулой $S = 5(n+2)$, где $n$ — первое число в ряду. Так как в этом выражении одним из множителей является число 5, то вся сумма всегда делится на 5.