Номер 74, страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

III. Последовательности. Тренировочные упражнения - номер 74, страница 303.

Условие.

74. Докажите, что при любом натуральном $n$:

а) $9^n + 3$ делится на 4;

б) $13^n + 5$ делится на 6;

в) $7^{2n} - 1$ делится на 24.

Доказательство а)

1) При $n = 1$ имеем: 12 делится на 4.

2) Допустим, что при $n = k$ выражение $9^k + 3$ делится на 4.

3) Докажем, что и при $n = k + 1$ выражение $9^{k+1} + 3$ делится на 4.

Действительно, $9^{k+1} + 3 = 9 \cdot 9^k + 3 = (8 + 1)9^k + 3 = 8 \cdot 9^k + (9^k + 3)$. Так как каждое слагаемое делится на 4 (объясните почему), то и сумма делится на 4.

Следовательно, при любом $n \in N$ выражение $9^n + 3$ делится на 4.

Доказательство б)

1) При $n = 1$ имеем: 18 делится на 6.

2) Допустим, что при $n = k$ выражение $13^k + 5$ делится на 6.

3) Докажем, что и при $n = k + 1$ выражение $13^{k+1} + 5$ делится на 6.

Действительно, $13^{k+1} + 5 = $ ___________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как каждое слагаемое делится на 6 (объясните почему), то и сумма делится на 6. Следовательно, при любом $n \in N$ выражение $13^n + 5$ делится на 6.

Доказательство в)

1) При $n = 1$ имеем: 48 делится на 24.

2) Допустим, что при $n = k$ выражение $7^{2k} - 1$ делится на 24.

Докажем, что и при $n = k + 1$ выражение $7^{2(k+1)} - 1$ делится на 24.

Действительно, $7^{2(k+1)} - 1 = $ ___________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как _________________________________________________________________________________________________________________________________

Следовательно, при любом $n \in N$ выражение $7^{2n} - 1$ делится на 24.

Решение.

Решение 2 (rus).

Доказательство. а)

1) При $n=1$ имеем: $9^1 + 3 = 12$ делится на 4.

2) Допустим, что при $n=k$ выражение $9^k + 3$ делится на 4.

3) Докажем, что и при $n = k + 1$ выражение $9^{k+1} + 3$ делится на 4.

Действительно, $9^{k+1} + 3 = 9 \cdot 9^k + 3 = (8 + 1)9^k + 3 = 8 \cdot 9^k + (9^k + 3)$. Так как каждое слагаемое делится на 4 (первое слагаемое $8 \cdot 9^k$ делится на 4, потому что содержит множитель 8, который делится на 4; второе слагаемое $(9^k + 3)$ делится на 4 по предположению индукции), то и сумма делится на 4. Следовательно, при любом $n \in \mathbb{N}$ выражение $9^n + 3$ делится на 4.

Ответ: Утверждение доказано.

Доказательство. б)

1) При $n=1$ имеем: $13^1 + 5 = 18$ делится на 6.

2) Допустим, что при $n=k$ выражение $13^k + 5$ делится на 6.

3) Докажем, что и при $n = k + 1$ выражение $13^{k+1} + 5$ делится на 6.

Действительно, $13^{k+1} + 5 = 13 \cdot 13^k + 5 = (12+1) \cdot 13^k + 5 = 12 \cdot 13^k + (13^k + 5)$.

Так как каждое слагаемое делится на 6 (первое слагаемое $12 \cdot 13^k$ делится на 6, так как содержит множитель 12, который делится на 6; второе слагаемое $(13^k + 5)$ делится на 6 по предположению индукции), то и сумма делится на 6. Следовательно, при любом $n \in \mathbb{N}$ выражение $13^n + 5$ делится на 6.

Ответ: Утверждение доказано.

Доказательство. в)

1) При $n=1$ имеем: $7^{2 \cdot 1} - 1 = 49 - 1 = 48$ делится на 24.

2) Допустим, что при $n=k$ выражение $7^{2k} - 1$ делится на 24.

3) Докажем, что и при $n=k+1$ выражение $7^{2(k+1)} - 1$ делится на 24.

Действительно, $7^{2(k+1)} - 1 = 7^{2k+2} - 1 = 7^2 \cdot 7^{2k} - 1 = 49 \cdot 7^{2k} - 1 = (48+1) \cdot 7^{2k} - 1 = 48 \cdot 7^{2k} + (7^{2k} - 1)$.

Так как каждое слагаемое в полученной сумме $48 \cdot 7^{2k} + (7^{2k} - 1)$ делится на 24: первое слагаемое $48 \cdot 7^{2k}$ делится на 24, так как содержит множитель 48, а второе слагаемое $(7^{2k} - 1)$ делится на 24 по предположению индукции.

Следовательно, при любом $n \in \mathbb{N}$ выражение $7^{2n} - 1$ делится на 24.

Ответ: Утверждение доказано.