Номер 135, страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 135, страница 311.

Условие.

135. Запишите все углы поворота, которым на единичной окружности соответствуют точки:

а) с ординатой $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) с абсциссой $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) с ординатой $\frac{\sqrt{2}}{2}$

На единичной окружности ордината точки (координата y) соответствует синусу угла поворота $\alpha$. Таким образом, нам нужно найти все углы $\alpha$, для которых выполняется равенство:

$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. На единичной окружности есть две точки, у которых ордината равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки находятся в I и II координатных четвертях.

Угол в I четверти, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $\alpha_1 = \frac{\pi}{4}$.

Угол во II четверти, имеющий такой же синус, симметричен первому относительно оси ординат и равен $\alpha_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, то все углы, соответствующие этим точкам, можно найти, прибавляя к найденным значениям целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — любое целое число, $k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, мы получаем две серии решений:

1. $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Эти две серии можно объединить в одну общую формулу:

$\alpha = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ (или в виде общей формулы $\alpha = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$).

б) с абсциссой $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

На единичной окружности абсцисса точки (координата x) соответствует косинусу угла поворота $\alpha$. Следовательно, задача сводится к решению уравнения:

$\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

На единичной окружности есть две точки с такой абсциссой. Они расположены во II и III координатных четвертях, так как косинус отрицателен в этих четвертях.

Основное значение угла, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, находится в промежутке $[0, \pi]$ и равно $\alpha_1 = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$. Этот угол находится во II четверти.

Второй угол, имеющий такой же косинус, симметричен первому относительно оси абсцисс и равен $\alpha_2 = -\frac{3\pi}{4}$. Этот угол находится в III четверти.

Функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, поэтому для нахождения всех решений нужно к найденным углам прибавить $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Две серии решений:

1. $\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $\alpha = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Эти две серии традиционно объединяют в одну формулу с помощью знака "плюс-минус":

$\alpha = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.