Номер 139, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 139, страница 312.

Условие.

139. Найдите значения остальных тригонометрических функций, если известно, что:

а) $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0 < x < \frac{\pi}{2}$;

б) $tg x = -1$ и $\frac{\pi}{2} < x < \pi$;

в) $sin x = -\frac{1}{2}$ и $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$;

г) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дано: $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Это I координатная четверть, в которой все тригонометрические функции имеют положительные значения.
Для нахождения $sin x$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 x + cos^2 x = 1$.
$sin^2 x = 1 - cos^2 x = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Так как $x$ находится в I четверти, $sin x > 0$, следовательно, $sin x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь найдем тангенс и котангенс:
$tg x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.
$ctg x = \frac{1}{tg x} = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $tg x = 1$, $ctg x = 1$.

б) Дано: $tg x = -1$ и $\frac{\pi}{2} < x < \pi$. Это II координатная четверть, в которой $sin x > 0$, а $cos x < 0$ и $ctg x < 0$.
Сначала найдем $ctg x$:
$ctg x = \frac{1}{tg x} = \frac{1}{-1} = -1$.
Для нахождения $cos x$ воспользуемся тождеством $1 + tg^2 x = \frac{1}{cos^2 x}$.
$\frac{1}{cos^2 x} = 1 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$.
$cos^2 x = \frac{1}{2}$.
Так как $x$ находится во II четверти, $cos x < 0$, следовательно, $cos x = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдем $sin x$ из определения тангенса $tg x = \frac{sin x}{cos x}$:
$sin x = tg x \cdot cos x = (-1) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $ctg x = -1$.

в) Дано: $sin x = -\frac{1}{2}$ и $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$. Это III координатная четверть, в которой $cos x < 0$, а $tg x > 0$ и $ctg x > 0$.
Для нахождения $cos x$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 x + cos^2 x = 1$.
$cos^2 x = 1 - sin^2 x = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Так как $x$ находится в III четверти, $cos x < 0$, следовательно, $cos x = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь найдем тангенс и котангенс:
$tg x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$ctg x = \frac{1}{tg x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg x = \sqrt{3}$.

г) Дано: $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$. Это IV координатная четверть, в которой $cos x > 0$, а $sin x < 0$ и $tg x < 0$.
Сначала найдем $tg x$:
$tg x = \frac{1}{ctg x} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.
Для нахождения $sin x$ воспользуемся тождеством $1 + ctg^2 x = \frac{1}{sin^2 x}$.
$\frac{1}{sin^2 x} = 1 + (-\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 + \frac{3}{9} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
$sin^2 x = \frac{3}{4}$.
Так как $x$ находится в IV четверти, $sin x < 0$, следовательно, $sin x = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем $cos x$ из определения котангенса $ctg x = \frac{cos x}{sin x}$:
$cos x = ctg x \cdot sin x = (-\frac{\sqrt{3}}{3}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos x = \frac{1}{2}$, $tg x = -\sqrt{3}$.