Номер 146, страница 313 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 146, страница 313.

Условие.

146. Используя формулы приведения, упростите выражение:

а) $ \sin 250^\circ $;

б) $ \cos 110^\circ $;

в) $ \operatorname{tg} 200^\circ $;

г) $ \operatorname{ctg} 340^\circ $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы упростить выражение $\sin(250^\circ)$, воспользуемся формулами приведения. Угол $250^\circ$ расположен в третьей координатной четверти (от $180^\circ$ до $270^\circ$). В этой четверти синус имеет отрицательное значение. Представим угол $250^\circ$ в виде $180^\circ + 70^\circ$. Согласно правилам приведения, при использовании опорного угла $180^\circ$ (или $360^\circ$) название тригонометрической функции не изменяется. Таким образом, получаем:
$\sin(250^\circ) = \sin(180^\circ + 70^\circ) = -\sin(70^\circ)$.
Также можно было представить угол как $250^\circ = 270^\circ - 20^\circ$. При использовании опорного угла $270^\circ$ (или $90^\circ$) функция меняется на кофункцию (синус на косинус):
$\sin(250^\circ) = \sin(270^\circ - 20^\circ) = -\cos(20^\circ)$.
Оба ответа верны, так как $\sin(70^\circ) = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos(20^\circ)$.
Ответ: $-\sin(70^\circ)$ или $-\cos(20^\circ)$.

б) Для упрощения выражения $\cos(110^\circ)$ применим формулы приведения. Угол $110^\circ$ находится во второй координатной четверти (от $90^\circ$ до $180^\circ$), где косинус отрицателен. Представим угол $110^\circ$ в виде $180^\circ - 70^\circ$. Так как мы используем опорный угол $180^\circ$, название функции не меняется:
$\cos(110^\circ) = \cos(180^\circ - 70^\circ) = -\cos(70^\circ)$.
Другой вариант — представить угол как $110^\circ = 90^\circ + 20^\circ$. В этом случае функция меняется на кофункцию (косинус на синус):
$\cos(110^\circ) = \cos(90^\circ + 20^\circ) = -\sin(20^\circ)$.
Ответ: $-\cos(70^\circ)$ или $-\sin(20^\circ)$.

в) Упростим выражение $\text{tg}(200^\circ)$ с помощью формул приведения. Угол $200^\circ$ находится в третьей координатной четверти (от $180^\circ$ до $270^\circ$). В этой четверти тангенс положителен. Представим угол $200^\circ$ как $180^\circ + 20^\circ$. При использовании опорного угла $180^\circ$ название функции не меняется:
$\text{tg}(200^\circ) = \text{tg}(180^\circ + 20^\circ) = \text{tg}(20^\circ)$.
Ответ: $\text{tg}(20^\circ)$.

г) Упростим выражение $\text{ctg}(340^\circ)$, используя формулы приведения. Угол $340^\circ$ расположен в четвертой координатной четверти (от $270^\circ$ до $360^\circ$). В этой четверти котангенс имеет отрицательное значение. Представим угол $340^\circ$ как $360^\circ - 20^\circ$. Так как опорный угол равен $360^\circ$, название функции не меняется:
$\text{ctg}(340^\circ) = \text{ctg}(360^\circ - 20^\circ) = -\text{ctg}(20^\circ)$.
Ответ: $-\text{ctg}(20^\circ)$.