Номер 148, страница 313 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 148, страница 313.

Условие.

148. Верно ли равенство:

а) $\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3} - \pi\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right)} = 3;$

б) $\frac{\cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right)} = -1? $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Проверим верность равенства $ \frac{\sin(\frac{\pi}{3} - \pi) \cdot \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3})}{\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) \cdot \cos(2\pi - \frac{\pi}{3})} = 3 $.

Для этого упростим левую часть выражения, используя формулы приведения. Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции произвольного угла через функции острого угла.

1. Преобразуем выражения в числителе дроби:

$ \sin(\frac{\pi}{3} - \pi) = \sin(-(\pi - \frac{\pi}{3})) $. Так как синус является нечетной функцией ($ \sin(-x) = -\sin(x) $), то $ \sin(-(\pi - \frac{\pi}{3})) = -\sin(\pi - \frac{\pi}{3}) $. Далее, по формуле приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $, получаем $ -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) $. По формуле приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $, получаем $ \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Результат в числителе: $ (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{4} $.

2. Преобразуем выражения в знаменателе дроби:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) $. По формуле приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) $, получаем $ \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $.

$ \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) $. По формуле приведения $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $, получаем $ \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $.

Результат в знаменателе: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.

3. Вычислим значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{3/4}{1/4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{1} = 3 $.

Левая часть равенства равна 3, что совпадает с правой частью. Таким образом, исходное равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

б) Проверим верность равенства $ \frac{\cos(\pi - \frac{\pi}{4}) \cdot \sin(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4})}{\sin(\pi + \frac{\pi}{4}) \cdot \cos(2\pi - \frac{\pi}{4})} = -1 $.

Для этого также упростим левую часть выражения с помощью формул приведения.

1. Преобразуем выражения в числителе дроби:

$ \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) $. Согласно формуле приведения $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $, получаем $ -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \sin(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) $. Согласно формуле приведения $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $, получаем $ -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Результат в числителе: $ (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

2. Преобразуем выражения в знаменателе дроби:

$ \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) $. Согласно формуле приведения $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $, получаем $ -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) $. Согласно формуле приведения $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $, получаем $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Результат в знаменателе: $ (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $.

3. Вычислим значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{1/2}{-1/2} = -1 $.

Левая часть равенства равна -1, что совпадает с правой частью. Таким образом, исходное равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.