Номер 155, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 155, страница 314.

Условие.

155. Упростите выражение:

a) $\frac{\sin 2x}{\sin x}$;

б) $\frac{2 \cos^2 x}{\sin 2x}$;

в) $\frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x}$;

г) $\frac{1 - \sin 2x}{\cos x - \sin x}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для упрощения выражения $\frac{\sin 2x}{\sin x}$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
Подставим эту формулу в исходное выражение:
$\frac{2 \sin x \cos x}{\sin x}$
Сократим $\sin x$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\sin x \neq 0$):
$2 \cos x$
Ответ: $2 \cos x$.

б) Для упрощения выражения $\frac{2 \cos^2 x}{\sin 2x}$ снова используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
Подставим её в знаменатель:
$\frac{2 \cos^2 x}{2 \sin x \cos x}$
Сократим общий множитель $2 \cos x$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos x \neq 0$):
$\frac{\cos x}{\sin x}$
Отношение косинуса к синусу есть котангенс:
$\cot x$
Ответ: $\cot x$.

в) Для упрощения выражения $\frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Подставим эту формулу в числитель:
$\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos x + \sin x}$
В числителе мы видим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Применим её:
$\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x + \sin x}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos x + \sin x \neq 0$):
$\cos x - \sin x$
Ответ: $\cos x - \sin x$.

г) Для упрощения выражения $\frac{1 - \sin 2x}{\cos x - \sin x}$ представим числитель, используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
$1 - \sin 2x = (\sin^2 x + \cos^2 x) - 2 \sin x \cos x = \cos^2 x - 2 \sin x \cos x + \sin^2 x$
Полученное выражение является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$\cos^2 x - 2 \sin x \cos x + \sin^2 x = (\cos x - \sin x)^2$
Теперь подставим это в исходную дробь:
$\frac{(\cos x - \sin x)^2}{\cos x - \sin x}$
Сократим дробь на $(\cos x - \sin x)$ (при условии, что $\cos x - \sin x \neq 0$):
$\cos x - \sin x$
Ответ: $\cos x - \sin x$.