Номер 154, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 154, страница 314.

Условие.

154. Верно ли равенство:

а) $sin \alpha \cdot cos \alpha = \frac{1}{2} sin 2\alpha;$

б) $cos^2 \alpha = cos 2\alpha + sin^2 \alpha;$

в) $cos 2\alpha = 1 - 2sin^2 \alpha;$

г) $cos 2\alpha = 2cos^2 \alpha - 1?$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для проверки данного равенства воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Если разделить обе части этого тождества на 2, мы получим $ \frac{1}{2} \sin 2\alpha = \sin \alpha \cos \alpha $. Это в точности совпадает с равенством, данным в задании. Следовательно, равенство верно.
Ответ: Да, равенство верно.

б) Проверим равенство $ \cos^2\alpha = \cos 2\alpha + \sin^2\alpha $. Для этого преобразуем его, перенеся $ \sin^2\alpha $ из правой части в левую. Получим: $ \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha $. Это одна из стандартных формул косинуса двойного угла. Таким образом, исходное равенство является верным.
Ответ: Да, равенство верно.

в) Рассмотрим равенство $ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $. Это одна из форм представления формулы косинуса двойного угла. Ее можно получить из основной формулы $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $ и основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Из тождества выразим $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $ и подставим в формулу двойного угла: $ \cos 2\alpha = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $. Равенство верно.
Ответ: Да, равенство верно.

г) Рассмотрим равенство $ \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $. Это еще одна форма представления формулы косинуса двойного угла. Ее также можно вывести из $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $ и $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Из тождества выразим $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $ и подставим в формулу: $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = \cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $. Равенство верно.
Ответ: Да, равенство верно.