Номер 157, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 157, страница 314.

Условие.

157. Вычислите:

а) $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ$;

б) $\sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8}$;

в) $4\sin 75^\circ \cdot \cos 75^\circ$;

г) $\frac{2 \operatorname{tg} 30^{\circ}}{1-\operatorname{tg}^{2} 30^{\circ}}+\frac{1-\operatorname{tg}^{2} 15^{\circ}}{2 \operatorname{tg} 15^{\circ}}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

В нашем случае угол $ \alpha = 75^\circ $. Применяя формулу, получаем:

$ \cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos(150^\circ) $.

Чтобы найти значение $ \cos(150^\circ) $, используем формулу приведения: $ \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) $.

Так как $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то итоговое значение равно $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

б) Для вычисления этого выражения используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Из этой формулы следует, что $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.

В данном выражении угол $ \alpha = \frac{\pi}{8} $. Подставляем его в преобразованную формулу:

$ \sin\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{8}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{4}) $.

Мы знаем, что $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Следовательно, результат вычисления: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{4} $.

в) Для упрощения данного выражения снова применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Представим выражение в следующем виде: $ 4\sin 75^\circ \cdot \cos 75^\circ = 2 \cdot (2\sin 75^\circ \cos 75^\circ) $.

Часть в скобках является синусом двойного угла для $ \alpha = 75^\circ $: $ 2\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin(2 \cdot 75^\circ) = \sin(150^\circ) $.

Тогда всё выражение равно $ 2 \cdot \sin(150^\circ) $.

Используя формулу приведения, находим $ \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $.

Подставляем это значение обратно: $ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $.

Ответ: $ 1 $.

г) Это выражение состоит из двух слагаемых. Проанализируем каждое из них отдельно, используя формулы двойного угла для тангенса и котангенса.

1. Первое слагаемое: $ \frac{2 \tg 30^\circ}{1 - \tg^2 30^\circ} $.

Это выражение в точности соответствует формуле тангенса двойного угла $ \tg(2\alpha) = \frac{2 \tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha} $, где $ \alpha = 30^\circ $.

Следовательно, $ \frac{2 \tg 30^\circ}{1 - \tg^2 30^\circ} = \tg(2 \cdot 30^\circ) = \tg(60^\circ) = \sqrt{3} $.

2. Второе слагаемое: $ \frac{1 - \tg^2 15^\circ}{2 \tg 15^\circ} $.

Это выражение соответствует формуле котангенса двойного угла $ \ctg(2\alpha) = \frac{1 - \tg^2\alpha}{2 \tg\alpha} $, где $ \alpha = 15^\circ $.

Следовательно, $ \frac{1 - \tg^2 15^\circ}{2 \tg 15^\circ} = \ctg(2 \cdot 15^\circ) = \ctg(30^\circ) = \sqrt{3} $.

3. Теперь сложим результаты: $ \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $.

Ответ: $ 2\sqrt{3} $.