Номер 161, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 161, страница 314.

Условие.

161. Представьте выражение в виде произведения:

а) $cos2x + cos4x;$

б) $sin x + sin5x;$

в) $cos 20^\circ - cos 12^\circ;$

г) $sin \frac{\pi}{18} - sin \frac{\pi}{9}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула суммы косинусов: $ \cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Чтобы избежать отрицательных значений под знаком косинуса, поменяем слагаемые местами, что не изменит значение выражения.
Пусть $\alpha = 4x$ и $\beta = 2x$.
$ \cos2x + \cos4x = \cos4x + \cos2x = 2 \cos\frac{4x+2x}{2} \cos\frac{4x-2x}{2} = 2 \cos\frac{6x}{2} \cos\frac{2x}{2} = 2 \cos(3x) \cos(x) $.
Ответ: $ 2 \cos(3x) \cos(x) $.

б) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула суммы синусов: $ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Поменяем слагаемые местами для удобства.
Пусть $\alpha = 5x$ и $\beta = x$.
$ \sin x + \sin 5x = \sin 5x + \sin x = 2 \sin\frac{5x+x}{2} \cos\frac{5x-x}{2} = 2 \sin\frac{6x}{2} \cos\frac{4x}{2} = 2 \sin(3x) \cos(2x) $.
Ответ: $ 2 \sin(3x) \cos(2x) $.

в) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула разности косинусов: $ \cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Пусть $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 12^\circ$.
$ \cos 20^\circ - \cos 12^\circ = -2 \sin\frac{20^\circ+12^\circ}{2} \sin\frac{20^\circ-12^\circ}{2} = -2 \sin\frac{32^\circ}{2} \sin\frac{8^\circ}{2} = -2 \sin(16^\circ) \sin(4^\circ) $.
Ответ: $ -2 \sin(16^\circ) \sin(4^\circ) $.

г) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула разности синусов: $ \sin\alpha - \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{18}$ и $\beta = \frac{\pi}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю: $ \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18} $.
$ \sin\frac{\pi}{18} - \sin\frac{2\pi}{18} = 2 \sin\frac{\frac{\pi}{18}-\frac{2\pi}{18}}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi}{18}}{2} = 2 \sin\frac{-\frac{\pi}{18}}{2} \cos\frac{\frac{3\pi}{18}}{2} = 2 \sin(-\frac{\pi}{36}) \cos(\frac{\pi}{12}) $.
Так как синус — нечетная функция, то $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
Следовательно, $ 2 \sin(-\frac{\pi}{36}) \cos(\frac{\pi}{12}) = -2 \sin(\frac{\pi}{36}) \cos(\frac{\pi}{12}) $.
Ответ: $ -2 \sin(\frac{\pi}{36}) \cos(\frac{\pi}{12}) $.