Номер 164, страница 315 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 164, страница 315.

Условие.

164. Найдите значение выражения:

а) $\frac{\sin 37^\circ - \sin 53^\circ}{1 - 2 \cos^2 4^\circ}$;

б) $\frac{\cos 50^\circ - \cos 70^\circ}{2 \sin^2 40^\circ - 1}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для нахождения значения выражения $\frac{\sin 37^\circ - \sin 53^\circ}{1 - 2 \cos^2 4^\circ}$ необходимо упростить числитель и знаменатель.

1. Упростим числитель, используя формулу разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.

$\sin 37^\circ - \sin 53^\circ = 2 \cos\left(\frac{37^\circ + 53^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{37^\circ - 53^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{90^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-16^\circ}{2}\right) = 2 \cos(45^\circ) \sin(-8^\circ)$.

Зная, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\sin 8^\circ) = -\sqrt{2} \sin 8^\circ$.

2. Упростим знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1$.

$1 - 2 \cos^2 4^\circ = -(2 \cos^2 4^\circ - 1) = -\cos(2 \cdot 4^\circ) = -\cos(8^\circ)$.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$\frac{-\sqrt{2} \sin 8^\circ}{-\cos 8^\circ} = \sqrt{2} \frac{\sin 8^\circ}{\cos 8^\circ}$.

Используя определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, окончательно получаем:

$\sqrt{2} \tan 8^\circ$.

Ответ: $\sqrt{2} \tan 8^\circ$.

б)

Для нахождения значения выражения $\frac{\cos 50^\circ - \cos 70^\circ}{2 \sin^2 40^\circ - 1}$ необходимо упростить числитель и знаменатель.

1. Упростим числитель, используя формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.

$\cos 50^\circ - \cos 70^\circ = -2 \sin\left(\frac{50^\circ + 70^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{50^\circ - 70^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-20^\circ}{2}\right) = -2 \sin(60^\circ) \sin(-10^\circ)$.

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sin 10^\circ) = \sqrt{3} \sin 10^\circ$.

2. Упростим знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha$.

$2 \sin^2 40^\circ - 1 = -(1 - 2 \sin^2 40^\circ) = -\cos(2 \cdot 40^\circ) = -\cos(80^\circ)$.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{3} \sin 10^\circ}{-\cos 80^\circ}$.

Используя формулу приведения $\cos(80^\circ) = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \sin(10^\circ)$, получаем:

$\frac{\sqrt{3} \sin 10^\circ}{-\sin 10^\circ} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.