Номер 159, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 159, страница 314.

Условие.

159. Дано: $ \text{tg } x = 3 $. Найдите:

a) $ \text{ctg } 2x $;

б) $ \text{cos } 2x $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) ctg 2x
Для нахождения котангенса двойного угла $ctg(2x)$ воспользуемся формулой, связывающей его с тангенсом двойного угла: $ctg(2x) = \frac{1}{tg(2x)}$.
Сначала необходимо найти $tg(2x)$, используя формулу тангенса двойного угла:
$tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1 - tg^2(x)}$
Согласно условию задачи, $tg(x) = 3$. Подставим это значение в формулу:
$tg(2x) = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$
Теперь мы можем вычислить $ctg(2x)$:
$ctg(2x) = \frac{1}{tg(2x)} = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}$
Ответ: $-\frac{4}{3}$

б) cos 2x
Для нахождения косинуса двойного угла, зная тангенс одинарного угла, удобно использовать формулу, которая выражает косинус через тангенс:
$cos(2x) = \frac{1 - tg^2(x)}{1 + tg^2(x)}$
Подставим в эту формулу известное значение $tg(x) = 3$:
$cos(2x) = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$
Ответ: $-\frac{4}{5}$