Номер 153, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 153, страница 314.

Условие.

153. Допишите часть равенства так, чтобы получилась формула тригонометрической функции двойного угла:

а) $ \sin 2x = ... $;

б) $ \cos 2x = ... $;

в) $ \operatorname{tg} 2x = ... $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Формула синуса двойного угла является одной из основных тригонометрических тождеств. Она выводится из формулы синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Если положить, что $\alpha = x$ и $\beta = x$, то мы получим:

$\sin(x + x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

Таким образом, полная формула имеет вид: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Ответ: $2 \sin x \cos x$.

б) Формула косинуса двойного угла выводится из формулы косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$. Если положить, что $\alpha = x$ и $\beta = x$, то мы получим основную формулу:

$\cos(x + x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

Эта формула имеет несколько эквивалентных форм, которые можно получить с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

1. Заменяя $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:

$\cos 2x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2 \cos^2 x - 1$

2. Заменяя $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$:

$\cos 2x = (1 - \sin^2 x) - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x$

Любая из этих трех форм является верным завершением равенства.

Ответ: $\cos^2 x - \sin^2 x$ (или $2 \cos^2 x - 1$, или $1 - 2 \sin^2 x$).

в) Формула тангенса двойного угла может быть выведена из формулы тангенса суммы: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$. Положив $\alpha = x$ и $\beta = x$, получаем:

$\text{tg}(x + x) = \frac{\text{tg}x + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x\text{tg}x}$

$\text{tg} 2x = \frac{2 \text{tg} x}{1 - \text{tg}^2 x}$

Также эту формулу можно вывести, используя ранее полученные формулы для синуса и косинуса двойного угла. Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$\text{tg} 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \frac{\frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x}}{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{2 \text{tg} x}{1 - \text{tg}^2 x}$

Таким образом, полная формула имеет вид: $\text{tg} 2x = \frac{2 \text{tg} x}{1 - \text{tg}^2 x}$.

Ответ: $\frac{2 \text{tg} x}{1 - \text{tg}^2 x}$.