Номер 151, страница 313 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 151, страница 313.

Условие.

151. Вычислите:

а) $1 + \sin 10^\circ \cdot \cos 20^\circ + \cos 10^\circ \cdot \sin 20^\circ;$

б) $1 + \cos 36^\circ \cdot \cos 24^\circ - \sin 36^\circ \cdot \sin 14^\circ;$

в) $\frac{\operatorname{ctg} 22^\circ \cdot \operatorname{ctg} 23^\circ - 1}{\operatorname{ctg} 22^\circ + \operatorname{ctg} 23^\circ};$

г) $\frac{\operatorname{ctg} 67^\circ \cdot \operatorname{ctg} 37^\circ + 1}{\operatorname{ctg} 67^\circ - \operatorname{ctg} 37^\circ}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

a) Исходное выражение: $1 + \sin 10^\circ \cos 20^\circ + \cos 10^\circ \sin 20^\circ$. Часть выражения $\sin 10^\circ \cos 20^\circ + \cos 10^\circ \sin 20^\circ$ соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. В данном случае $\alpha = 10^\circ$ и $\beta = 20^\circ$. Следовательно, выражение можно переписать как $1 + \sin(10^\circ + 20^\circ) = 1 + \sin(30^\circ)$. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$. Ответ: $1.5$.

б) Исходное выражение: $1 + \cos 36^\circ \cos 24^\circ - \sin 36^\circ \sin 14^\circ$. В данном выражении, скорее всего, допущена опечатка, так как оно не упрощается до простого значения с помощью стандартных формул. Предположим, что вместо $\sin 14^\circ$ должно быть $\sin 24^\circ$. Тогда выражение принимает вид: $1 + \cos 36^\circ \cos 24^\circ - \sin 36^\circ \sin 24^\circ$. Эта часть соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$, где $\alpha = 36^\circ$ и $\beta = 24^\circ$. Таким образом, выражение равно $1 + \cos(36^\circ + 24^\circ) = 1 + \cos(60^\circ)$. Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$. Ответ: $1.5$.

в) Дано выражение $\frac{\text{ctg } 22^\circ \cdot \text{ctg } 23^\circ - 1}{\text{ctg } 22^\circ + \text{ctg } 23^\circ}$. Оно соответствует формуле котангенса суммы двух углов: $\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg } \alpha \cdot \text{ctg } \beta - 1}{\text{ctg } \beta + \text{ctg } \alpha}$. Здесь $\alpha = 22^\circ$ и $\beta = 23^\circ$. Следовательно, выражение равно $\text{ctg}(22^\circ + 23^\circ) = \text{ctg}(45^\circ)$. Так как $\text{ctg}(45^\circ) = 1$, результат равен 1. Ответ: $1$.

г) Дано выражение $\frac{\text{ctg } 67^\circ \cdot \text{ctg } 37^\circ + 1}{\text{ctg } 67^\circ - \text{ctg } 37^\circ}$. Используем формулу котангенса разности двух углов: $\text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{ctg } \alpha \cdot \text{ctg } \beta + 1}{\text{ctg } \beta - \text{ctg } \alpha}$. Сравним ее с данным выражением. Если взять $\alpha = 67^\circ$ и $\beta = 37^\circ$, то знаменатель в формуле будет $\text{ctg } 37^\circ - \text{ctg } 67^\circ$, а в задании — $\text{ctg } 67^\circ - \text{ctg } 37^\circ$. Знаменатель в задании является противоположным по знаку знаменателю в формуле $(\text{ctg } 67^\circ - \text{ctg } 37^\circ = -(\text{ctg } 37^\circ - \text{ctg } 67^\circ))$. Поэтому все выражение можно переписать так: $- \left( \frac{\text{ctg } 67^\circ \cdot \text{ctg } 37^\circ + 1}{\text{ctg } 37^\circ - \text{ctg } 67^\circ} \right) = -\text{ctg}(67^\circ - 37^\circ) = -\text{ctg}(30^\circ)$. Так как $\text{ctg}(30^\circ) = \sqrt{3}$, то итоговый результат равен $-\sqrt{3}$. Ответ: $-\sqrt{3}$.