Номер 145, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 145, страница 312.

Условие.

145. Упростите выражение:

a) $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - \sin(\pi + x) + \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \operatorname{ctg}(2\pi - x)$;

б) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) - \cos(\pi - x) + \operatorname{tg}(\pi - x) + \operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)$;

в) $\frac{\sin(\pi - x) \cdot \cos(-x)}{\cos(\pi - x)}$;

г) $\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \cdot \operatorname{tg}(-x)}{\cos(\pi + x)}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для упрощения выражения $cos(\frac{\pi}{2} - x) - sin(\pi + x) + tg(\frac{3\pi}{2} + x) + ctg(2\pi - x)$ воспользуемся формулами приведения.

Применим формулы к каждому слагаемому по отдельности:

1. $cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$, так как угол находится в I четверти, где косинус положителен, а наличие $\frac{\pi}{2}$ меняет функцию на кофункцию.

2. $sin(\pi + x) = -sin(x)$, так как угол находится в III четверти, где синус отрицателен, а наличие $\pi$ не меняет функцию.

3. $tg(\frac{3\pi}{2} + x) = -ctg(x)$, так как угол находится в IV четверти, где тангенс отрицателен, а наличие $\frac{3\pi}{2}$ меняет функцию на кофункцию.

4. $ctg(2\pi - x) = -ctg(x)$, так как угол находится в IV четверти, где котангенс отрицателен, а наличие $2\pi$ не меняет функцию.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$sin(x) - (-sin(x)) + (-ctg(x)) + (-ctg(x)) = sin(x) + sin(x) - ctg(x) - ctg(x) = 2sin(x) - 2ctg(x)$.

Ответ: $2sin(x) - 2ctg(x)$.

б) Упростим выражение $sin(\frac{\pi}{2} + x) - cos(\pi - x) + tg(\pi - x) + ctg(\frac{5\pi}{2} - x)$.

Применим формулы приведения к каждому слагаемому:

1. $sin(\frac{\pi}{2} + x) = cos(x)$, так как угол находится во II четверти, где синус положителен, а $\frac{\pi}{2}$ меняет функцию на кофункцию.

2. $cos(\pi - x) = -cos(x)$, так как угол находится во II четверти, где косинус отрицателен, а $\pi$ не меняет функцию.

3. $tg(\pi - x) = -tg(x)$, так как угол находится во II четверти, где тангенс отрицателен, а $\pi$ не меняет функцию.

4. $ctg(\frac{5\pi}{2} - x) = ctg(2\pi + \frac{\pi}{2} - x) = ctg(\frac{\pi}{2} - x) = tg(x)$, так как угол находится в I четверти, где котангенс положителен, а $\frac{\pi}{2}$ меняет функцию на кофункцию.

Подставим полученные значения в выражение:

$cos(x) - (-cos(x)) + (-tg(x)) + tg(x) = cos(x) + cos(x) - tg(x) + tg(x) = 2cos(x)$.

Ответ: $2cos(x)$.

в) Упростим выражение $\frac{sin(\pi - x) \cdot cos(-x)}{cos(\pi - x)}$.

Применим формулы приведения и свойства четности функций:

В числителе:

$sin(\pi - x) = sin(x)$ (II четверть, синус положителен).

$cos(-x) = cos(x)$ (косинус - четная функция).

В знаменателе:

$cos(\pi - x) = -cos(x)$ (II четверть, косинус отрицателен).

Подставим преобразованные части в дробь:

$\frac{sin(x) \cdot cos(x)}{-cos(x)}$.

Сократим дробь на $cos(x)$ (при условии, что $cos(x) \neq 0$):

$\frac{sin(x)}{-1} = -sin(x)$.

Ответ: $-sin(x)$.

г) Упростим выражение $\frac{cos(\frac{\pi}{2} + x) \cdot tg(-x)}{cos(\pi + x)}$.

Применим формулы приведения и свойства нечетности функций:

В числителе:

$cos(\frac{\pi}{2} + x) = -sin(x)$ (II четверть, косинус отрицателен).

$tg(-x) = -tg(x)$ (тангенс - нечетная функция).

В знаменателе:

$cos(\pi + x) = -cos(x)$ (III четверть, косинус отрицателен).

Подставим преобразованные части в дробь:

$\frac{(-sin(x)) \cdot (-tg(x))}{-cos(x)} = \frac{sin(x) \cdot tg(x)}{-cos(x)}$.

Можно представить выражение как $-\frac{sin(x)}{cos(x)} \cdot tg(x)$. Так как $\frac{sin(x)}{cos(x)} = tg(x)$, получим:

$-tg(x) \cdot tg(x) = -tg^2(x)$.

Ответ: $-tg^2(x)$.