Номер 140, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 140, страница 312.

Условие.

140. Найдите значения остальных тригонометрических функций, если известно, что:

a) $ \cos x = \frac{3}{5} $ и $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi; $

б) $ \operatorname{tg} x = 2 $ и $ \pi < x < \frac{3\pi}{2}; $

в) $ \sin x = -\frac{2\sqrt{2}}{3} $ и $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi; $

г) $ \operatorname{ctg} x = -\frac{3}{4} $ и $ \frac{\pi}{2} < x < \pi. $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дано: $ \cos x = \frac{3}{5} $ и $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi $.

Угол $x$ находится в IV четверти, где синус, тангенс и котангенс отрицательны, а косинус положителен.

1. Найдем $ \sin x $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

$ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.

Так как $x$ в IV четверти, $ \sin x < 0 $, поэтому $ \sin x = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} $.

2. Найдем $ \tan x $ по формуле $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

$ \tan x = \frac{-4/5}{3/5} = -\frac{4}{3} $.

3. Найдем $ \cot x $ по формуле $ \cot x = \frac{1}{\tan x} $.

$ \cot x = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4} $.

Ответ: $ \sin x = -\frac{4}{5} $, $ \tan x = -\frac{4}{3} $, $ \cot x = -\frac{3}{4} $.

б) Дано: $ \tan x = 2 $ и $ \pi < x < \frac{3\pi}{2} $.

Угол $x$ находится в III четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

1. Найдем $ \cot x $ по формуле $ \cot x = \frac{1}{\tan x} $.

$ \cot x = \frac{1}{2} $.

2. Найдем $ \cos x $ из тождества $ 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} $.

$ \cos^2 x = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5} $.

Так как $x$ в III четверти, $ \cos x < 0 $, поэтому $ \cos x = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

3. Найдем $ \sin x $ из формулы $ \sin x = \tan x \cdot \cos x $.

$ \sin x = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = -\frac{2\sqrt{5}}{5} $.

Ответ: $ \sin x = -\frac{2\sqrt{5}}{5} $, $ \cos x = -\frac{\sqrt{5}}{5} $, $ \cot x = \frac{1}{2} $.

в) Дано: $ \sin x = -\frac{2\sqrt{2}}{3} $ и $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi $.

Угол $x$ находится в IV четверти, где косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $ \cos x $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

$ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} $.

Так как $x$ в IV четверти, $ \cos x > 0 $, поэтому $ \cos x = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $.

2. Найдем $ \tan x $ по формуле $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

$ \tan x = \frac{-2\sqrt{2}/3}{1/3} = -2\sqrt{2} $.

3. Найдем $ \cot x $ по формуле $ \cot x = \frac{1}{\tan x} $.

$ \cot x = \frac{1}{-2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \cos x = \frac{1}{3} $, $ \tan x = -2\sqrt{2} $, $ \cot x = -\frac{\sqrt{2}}{4} $.

г) Дано: $ \cot x = -\frac{3}{4} $ и $ \frac{\pi}{2} < x < \pi $.

Угол $x$ находится во II четверти, где синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $ \tan x $ по формуле $ \tan x = \frac{1}{\cot x} $.

$ \tan x = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3} $.

2. Найдем $ \sin x $ из тождества $ 1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} $.

$ \sin^2 x = \frac{1}{1 + \cot^2 x} = \frac{1}{1 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25} $.

Так как $x$ во II четверти, $ \sin x > 0 $, поэтому $ \sin x = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

3. Найдем $ \cos x $ из формулы $ \cos x = \cot x \cdot \sin x $.

$ \cos x = (-\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{5} $.

Ответ: $ \sin x = \frac{4}{5} $, $ \cos x = -\frac{3}{5} $, $ \tan x = -\frac{4}{3} $.