Номер 138, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 138, страница 312.

Условие.

138. Вычислите:

a) $cos^2 x$, если $tg x = \frac{1}{3}$;

б) $sin^2 x$, если $ctg x = 2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы найти $cos^2x$, зная $\text{tg}x$, воспользуемся тригонометрическим тождеством, которое связывает тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2x = \frac{1}{\cos^2x}$.
Подставим в это тождество данное значение $\text{tg}x = \frac{1}{3}$:
$1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2x}$
Выполним вычисления в левой части уравнения:
$1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{\cos^2x}$
$\frac{9}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{\cos^2x}$
$\frac{10}{9} = \frac{1}{\cos^2x}$
Из полученного равенства выразим $\cos^2x$:
$\cos^2x = \frac{9}{10}$
Ответ: $\frac{9}{10}$.

б) Чтобы найти $sin^2x$, зная $\text{ctg}x$, воспользуемся тригонометрическим тождеством, которое связывает котангенс и синус: $1 + \text{ctg}^2x = \frac{1}{\sin^2x}$.
Подставим в это тождество данное значение $\text{ctg}x = 2$:
$1 + 2^2 = \frac{1}{\sin^2x}$
Выполним вычисления в левой части уравнения:
$1 + 4 = \frac{1}{\sin^2x}$
$5 = \frac{1}{\sin^2x}$
Из полученного равенства выразим $\sin^2x$:
$\sin^2x = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$.