Номер 142, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 142, страница 312.

Условие.

142. Дано: $\sin x = 1$. Верно ли, что $\tan x \cdot \cot x = 1$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы определить, верно ли утверждение, необходимо проверить, определены ли функции $tg(x)$ и $ctg(x)$ при заданном условии $sin(x) = 1$.

Тождество $tg(x) \cdot ctg(x) = 1$ справедливо только в том случае, когда обе функции, $tg(x)$ и $ctg(x)$, существуют.

Вспомним определения тангенса и котангенса:
$tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$
$ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$

Из этих определений видно, что $tg(x)$ не определён, когда его знаменатель равен нулю, то есть при $cos(x) = 0$. В свою очередь, $ctg(x)$ не определён, когда $sin(x) = 0$.

В условии задачи дано, что $sin(x) = 1$. Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, чтобы найти значение $cos(x)$.
$1^2 + cos^2(x) = 1$
$1 + cos^2(x) = 1$
$cos^2(x) = 0$
$cos(x) = 0$

Так как при $sin(x) = 1$ мы получаем $cos(x) = 0$, то знаменатель в выражении для тангенса $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$ обращается в ноль. Это означает, что при данном условии тангенс не определён.

Поскольку один из множителей в выражении $tg(x) \cdot ctg(x)$ не существует, само произведение также не определено и не может быть равно 1.

Ответ: Неверно.