Номер 141, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 141, страница 312.

Условие.

141. Верно ли равенство:

a) $\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ = \sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ$;

б) $\sin^2 18^\circ - \cos^2 47^\circ = \sin^2 47^\circ - \cos^2 18^\circ$?

Решение.

Решение 2 (rus).

a) Для проверки верности этого равенства воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Это тождество верно для любого угла $\alpha$.Рассмотрим левую часть исходного равенства: $sin^2 15° + cos^2 15°$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, это выражение равно 1.Рассмотрим правую часть исходного равенства: $sin^2 40° + cos^2 40°$. Это выражение также равно 1.Поскольку левая и правая части равны 1, мы получаем верное равенство $1 = 1$. Следовательно, исходное равенство верно.
Ответ: да, равенство верно.

б) Проверим равенство $sin^2 18° - cos^2 47° = sin^2 47° - cos^2 18°$.Для этого преобразуем его, сгруппировав слагаемые с одинаковыми углами. Перенесём $-cos^2 18°$ из правой части в левую (сменив знак на "+") и $-cos^2 47°$ из левой части в правую (также сменив знак на "+").Получим следующее равенство:$sin^2 18° + cos^2 18° = sin^2 47° + cos^2 47°$.Теперь снова применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ к обеим частям.Левая часть $sin^2 18° + cos^2 18°$ равна 1.Правая часть $sin^2 47° + cos^2 47°$ также равна 1.Мы пришли к верному равенству $1 = 1$, что доказывает, что и исходное равенство было верным.
Ответ: да, равенство верно.