Номер 136, страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 136, страница 311.

Условие.

136. Напишите основные тригонометрические тождества:

a) $\sin^2x + \cos^2x = ...$;

б) $\operatorname{tg}x = ...$;

в) $\frac{\cos x}{\sin x} = ...$;

г) $\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x = ...$;

д) $1 + \operatorname{tg}^2x = ...$;

е) $\frac{1}{\sin^2x} = ...$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Это основное тригонометрическое тождество. Его можно доказать с помощью единичной окружности. Точка на единичной окружности, соответствующая углу $x$, имеет координаты $(\cos x, \sin x)$. Так как уравнение единичной окружности $X^2 + Y^2 = 1$, подставив в него координаты точки, получаем $\cos^2x + \sin^2x = 1$.

Ответ: $1$.

б) Тангенс угла $x$ по определению — это отношение синуса этого угла к его косинусу. Это тождество выводится из определений синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике. Если $a$ — противолежащий катет, $b$ — прилежащий катет, а $c$ — гипотенуза, то $\sin x = a/c$ и $\cos x = b/c$. Тогда отношение $\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b}$, что по определению является тангенсом угла $x$. Данное тождество справедливо при $\cos x \neq 0$.

Ответ: $\frac{\sin x}{\cos x}$.

в) Данное выражение является определением котангенса угла $x$. Котангенс — это отношение косинуса угла к его синусу. Аналогично тангенсу, если $a$ — противолежащий катет, а $b$ — прилежащий, то $\ctg x = b/a$. Отношение $\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{b/c}{a/c} = \frac{b}{a}$, что и является котангенсом. Данное тождество справедливо при $\sin x \neq 0$.

Ответ: $\ctg x$.

г) Чтобы найти произведение тангенса и котангенса, используем их определения через синус и косинус: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

$\tg x \cdot \ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1$

Произведение равно 1 для всех углов $x$, где тангенс и котангенс определены (т.е. $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$).

Ответ: $1$.

д) Это тождество является следствием основного тригонометрического тождества $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Разделим обе части этого равенства на $\cos^2x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$\frac{\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2x}$

Учитывая, что $\frac{\sin x}{\cos x} = \tg x$, получаем:

$\tg^2x + 1 = \frac{1}{\cos^2x}$

Ответ: $\frac{1}{\cos^2x}$.

е) Это тождество также выводится из основного тригонометрического тождества $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Разделим обе части этого равенства на $\sin^2x$ (при условии, что $\sin x \neq 0$):

$\frac{\sin^2x}{\sin^2x} + \frac{\cos^2x}{\sin^2x} = \frac{1}{\sin^2x}$

Учитывая, что $\frac{\cos x}{\sin x} = \ctg x$, получаем:

$1 + \ctg^2x = \frac{1}{\sin^2x}$

Ответ: $1 + \ctg^2x$.