Номер 133, страница 311 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 133, страница 311.

Условие.

133. Объясните, почему верно равенство:

a) $\sin \frac{\pi}{6} = \sin \frac{25\pi}{6}$;

б) $\cos \frac{2\pi}{5} = \cos \frac{32\pi}{5}$;

в) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{7} = \operatorname{tg} \frac{22\pi}{7}$;

г) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = \operatorname{ctg} \frac{13\pi}{4}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Равенство $\sin\frac{\pi}{6} = \sin\frac{25\pi}{6}$ верно, потому что функция синус является периодической с основным периодом $2\pi$. Это означает, что значения синуса повторяются через каждый интервал в $2\pi$. Формально, для любого угла $x$ и любого целого числа $k$ справедливо равенство $\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$.
Рассмотрим аргумент функции в правой части равенства, $\frac{25\pi}{6}$. Представим его в виде суммы:
$\frac{25\pi}{6} = \frac{24\pi + \pi}{6} = \frac{24\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot (2\pi) + \frac{\pi}{6}$.
Здесь $k=2$, что является целым числом. Следовательно, мы можем применить свойство периодичности:
$\sin\frac{25\pi}{6} = \sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6}$.
Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Равенство верно, так как функция $y = \sin(x)$ периодическая с периодом $2\pi$, а разность аргументов $\frac{25\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} = 4\pi$ является целым кратным периода ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$).

б) Равенство $\cos\frac{2\pi}{5} = \cos\frac{32\pi}{5}$ верно, так как функция косинус, как и синус, является периодической с основным периодом $2\pi$. Для любого угла $x$ и любого целого числа $k$ выполняется равенство $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$.
Преобразуем аргумент функции в правой части равенства, $\frac{32\pi}{5}$:
$\frac{32\pi}{5} = \frac{30\pi + 2\pi}{5} = \frac{30\pi}{5} + \frac{2\pi}{5} = 6\pi + \frac{2\pi}{5} = 3 \cdot (2\pi) + \frac{2\pi}{5}$.
Здесь $k=3$, что является целым числом. Применяя свойство периодичности для косинуса, получаем:
$\cos\frac{32\pi}{5} = \cos(6\pi + \frac{2\pi}{5}) = \cos\frac{2\pi}{5}$.
Равенство доказано.
Ответ: Равенство верно, так как функция $y = \cos(x)$ периодическая с периодом $2\pi$, а разность аргументов $\frac{32\pi}{5} - \frac{2\pi}{5} = \frac{30\pi}{5} = 6\pi$ является целым кратным периода ($6\pi = 3 \cdot 2\pi$).

в) Равенство $\operatorname{tg}\frac{\pi}{7} = \operatorname{tg}\frac{22\pi}{7}$ верно, потому что функция тангенс является периодической с основным периодом $\pi$. Это означает, что для любого угла $x$ из области определения и любого целого числа $k$ выполняется равенство $\operatorname{tg}(x + \pi k) = \operatorname{tg}(x)$.
Рассмотрим аргумент функции в правой части, $\frac{22\pi}{7}$:
$\frac{22\pi}{7} = \frac{21\pi + \pi}{7} = \frac{21\pi}{7} + \frac{\pi}{7} = 3\pi + \frac{\pi}{7}$.
Здесь $k=3$, целое число. Используя свойство периодичности тангенса:
$\operatorname{tg}\frac{22\pi}{7} = \operatorname{tg}(3\pi + \frac{\pi}{7}) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{7}$.
Равенство доказано.
Ответ: Равенство верно, так как функция $y = \operatorname{tg}(x)$ периодическая с периодом $\pi$, а разность аргументов $\frac{22\pi}{7} - \frac{\pi}{7} = \frac{21\pi}{7} = 3\pi$ является целым кратным периода ($3\pi = 3 \cdot \pi$).

г) Равенство $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = \operatorname{ctg}\frac{13\pi}{4}$ верно, так как функция котангенс является периодической с основным периодом $\pi$. Для любого угла $x$ из области определения и любого целого числа $k$ справедливо равенство $\operatorname{ctg}(x + \pi k) = \operatorname{ctg}(x)$.
Преобразуем аргумент функции в правой части, $\frac{13\pi}{4}$:
$\frac{13\pi}{4} = \frac{12\pi + \pi}{4} = \frac{12\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 3\pi + \frac{\pi}{4}$.
Здесь $k=3$, что является целым числом. На основании свойства периодичности котангенса:
$\operatorname{ctg}\frac{13\pi}{4} = \operatorname{ctg}(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}$.
Равенство доказано.
Ответ: Равенство верно, так как функция $y = \operatorname{ctg}(x)$ периодическая с периодом $\pi$, а разность аргументов $\frac{13\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{12\pi}{4} = 3\pi$ является целым кратным периода ($3\pi = 3 \cdot \pi$).