Номер 144, страница 312 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 144, страница 312.

Условие.

144. Напишите формулы приведения, дописав правые части равенств:

а) $\sin(\pi - x) = ...$;

б) $\cos(\pi + x) = ...$;

в) $\operatorname{tg}(2\pi - x) = ...$;

г) $\operatorname{ctg}(2\pi + x) = ...$;

д) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = ...$;

е) $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = ...$;

ж) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = ...$;

з) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = ...$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы упростить выражение $ \sin(\pi - x) $, мы используем формулы приведения. Для этого применяется мнемоническое правило:
1. Сначала определяем знак. Если считать $ x $ острым углом (угол первой четверти), то угол $ \pi - x $ находится во второй четверти. Синус во второй четверти имеет знак «+».
2. Затем определяем, меняется ли функция. Поскольку в формуле присутствует $ \pi $ (целое число $ \pi $), название функции не меняется.
Таким образом, $ \sin(\pi - x) = \sin(x) $.
Ответ: $ \sin(x) $

б) Для выражения $ \cos(\pi + x) $:
1. Знак. Угол $ \pi + x $ находится в третьей четверти. Косинус в третьей четверти имеет знак «−».
2. Функция. В формуле присутствует $ \pi $, поэтому название функции не меняется.
Таким образом, $ \cos(\pi + x) = -\cos(x) $.
Ответ: $ -\cos(x) $

в) Для выражения $ \tan(2\pi - x) $:
1. Знак. Угол $ 2\pi - x $ находится в четвертой четверти. Тангенс в четвертой четверти имеет знак «−».
2. Функция. В формуле присутствует $ 2\pi $, поэтому название функции не меняется.
Таким образом, $ \tan(2\pi - x) = -\tan(x) $.
Ответ: $ -\tan(x) $

г) Для выражения $ \cot(2\pi + x) $:
1. Знак. Угол $ 2\pi + x $ эквивалентен углу $ x $ (из-за периодичности котангенса, период $ \pi $). Угол $ x $ находится в первой четверти, где котангенс имеет знак «+».
2. Функция. В формуле присутствует $ 2\pi $, поэтому название функции не меняется.
Таким образом, $ \cot(2\pi + x) = \cot(x) $.
Ответ: $ \cot(x) $

д) Для выражения $ \sin(\frac{\pi}{2} - x) $:
1. Знак. Угол $ \frac{\pi}{2} - x $ находится в первой четверти. Синус в первой четверти имеет знак «+».
2. Функция. Поскольку в формуле присутствует $ \frac{\pi}{2} $ (половинное число $ \pi $), название функции меняется на кофункцию: синус на косинус.
Таким образом, $ \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x) $.
Ответ: $ \cos(x) $

е) Для выражения $ \cos(\frac{\pi}{2} + x) $:
1. Знак. Угол $ \frac{\pi}{2} + x $ находится во второй четверти. Косинус во второй четверти имеет знак «−».
2. Функция. В формуле присутствует $ \frac{\pi}{2} $, поэтому название функции меняется на кофункцию: косинус на синус.
Таким образом, $ \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x) $.
Ответ: $ -\sin(x) $

ж) Для выражения $ \tan(\frac{3\pi}{2} - x) $:
1. Знак. Угол $ \frac{3\pi}{2} - x $ находится в третьей четверти. Тангенс в третьей четверти имеет знак «+».
2. Функция. В формуле присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, поэтому название функции меняется на кофункцию: тангенс на котангенс.
Таким образом, $ \tan(\frac{3\pi}{2} - x) = \cot(x) $.
Ответ: $ \cot(x) $

з) Для выражения $ \cot(\frac{3\pi}{2} + x) $:
1. Знак. Угол $ \frac{3\pi}{2} + x $ находится в четвертой четверти. Котангенс в четвертой четверти имеет знак «−».
2. Функция. В формуле присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, поэтому название функции меняется на кофункцию: котангенс на тангенс.
Таким образом, $ \cot(\frac{3\pi}{2} + x) = -\tan(x) $.
Ответ: $ -\tan(x) $