Номер 150, страница 313 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 150, страница 313.

Условие.

150. Упростите выражение:

а) $1 - \sin 69^\circ \cdot \cos 39^\circ + \cos 69^\circ \cdot \sin 39^\circ$;

б) $2 - \cos 47^\circ \cdot \cos 17^\circ - \sin 47^\circ \cdot \sin 17^\circ$;

в) $\frac{\text{tg } 16^\circ + \text{tg } 44^\circ}{1 - \text{tg } 16^\circ \cdot \text{tg } 44^\circ}$;

г) $\frac{\text{tg } 85^\circ - \text{tg } 25^\circ}{1 + \text{tg } 85^\circ \cdot \text{tg } 25^\circ}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Исходное выражение: $1 - \sin 69^\circ \cdot \cos 39^\circ + \cos 69^\circ \cdot \sin 39^\circ$.
Вынесем минус за скобки у последних двух слагаемых:
$1 - (\sin 69^\circ \cdot \cos 39^\circ - \cos 69^\circ \cdot \sin 39^\circ)$.
Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = 69^\circ$ и $\beta = 39^\circ$.
Подставляем в формулу:
$1 - \sin(69^\circ - 39^\circ) = 1 - \sin(30^\circ)$.
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Исходное выражение: $2 - \cos 47^\circ \cdot \cos 17^\circ - \sin 47^\circ \cdot \sin 17^\circ$.
Вынесем минус за скобки у последних двух слагаемых:
$2 - (\cos 47^\circ \cdot \cos 17^\circ + \sin 47^\circ \cdot \sin 17^\circ)$.
Выражение в скобках соответствует формуле косинуса разности углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = 47^\circ$ и $\beta = 17^\circ$.
Подставляем в формулу:
$2 - \cos(47^\circ - 17^\circ) = 2 - \cos(30^\circ)$.
Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Исходное выражение: $\frac{\tg 16^\circ + \tg 44^\circ}{1 - \tg 16^\circ \cdot \tg 44^\circ}$.
Это выражение соответствует формуле тангенса суммы углов: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}$.
В нашем случае $\alpha = 16^\circ$ и $\beta = 44^\circ$.
Применяем формулу:
$\tg(16^\circ + 44^\circ) = \tg(60^\circ)$.
Значение тангенса 60 градусов равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

г) Исходное выражение: $\frac{\tg 85^\circ - \tg 25^\circ}{1 + \tg 85^\circ \cdot \tg 25^\circ}$.
Это выражение соответствует формуле тангенса разности углов: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$.
В нашем случае $\alpha = 85^\circ$ и $\beta = 25^\circ$.
Применяем формулу:
$\tg(85^\circ - 25^\circ) = \tg(60^\circ)$.
Значение тангенса 60 градусов равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.