Номер 152, страница 313 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 152, страница 313.

Условие.

152. Дано: $cos \\alpha = \\frac{3}{5}$, $cos \\beta = \\frac{4}{5}$, причем $\\alpha$ и $\\beta$ – острые углы. Найдите:

а) $cos(\\alpha + \\beta)$; б) $sin(\\alpha - \\beta)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи нам потребуются значения $sin \alpha$ и $sin \beta$. Мы можем найти их, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\theta + cos^2\theta = 1$.

Поскольку по условию углы $\alpha$ и $\beta$ острые, то есть принадлежат первой координатной четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$), их синусы будут положительными.

Найдем $sin \alpha$:
$sin \alpha = \sqrt{1 - cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25-9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Найдем $sin \beta$:
$sin \beta = \sqrt{1 - cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25-16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Теперь, когда у нас есть значения для $sin \alpha$, $cos \alpha$, $sin \beta$ и $cos \beta$, мы можем найти требуемые величины.

а) Для нахождения $cos(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой косинуса суммы углов:
$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$
Подставим известные значения в формулу:
$cos(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{25} - \frac{12}{25} = 0$
Ответ: $0$

б) Для нахождения $sin(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой синуса разности углов:
$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$
Подставим известные значения в формулу:
$sin(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$
Ответ: $\frac{7}{25}$