Номер 158, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 158, страница 314.

Условие.

158. Упростите выражение:

a) $2\sin 50^{\circ} \cdot \sin 40^{\circ};$

б) $\frac{4\mathrm{tg} 40^{\circ}}{1 - \mathrm{ctg}^2 50^{\circ}};$

в) $2\cos^2 25^{\circ} - 2\cos^2 65^{\circ};$

г) $\frac{\mathrm{tg} 25^{\circ}}{1 - \mathrm{ctg}^2 65^{\circ}}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $2\sin 50^\circ \cdot \sin 40^\circ$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$.

Подставим в формулу значения $\alpha = 50^\circ$ и $\beta = 40^\circ$:

$2\sin 50^\circ \sin 40^\circ = \cos(50^\circ - 40^\circ) - \cos(50^\circ + 40^\circ) = \cos 10^\circ - \cos 90^\circ$.

Так как $\cos 90^\circ = 0$, получаем:

$\cos 10^\circ - 0 = \cos 10^\circ$.

Ответ: $\cos 10^\circ$

б) $\frac{4\operatorname{tg} 40^\circ}{1 - \operatorname{ctg}^2 50^\circ}$

Сначала воспользуемся формулой приведения для котангенса: $\operatorname{ctg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{tg}\alpha$.

Применим ее к $\operatorname{ctg} 50^\circ$: $\operatorname{ctg} 50^\circ = \operatorname{ctg}(90^\circ - 40^\circ) = \operatorname{tg} 40^\circ$.

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$\frac{4\operatorname{tg} 40^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 40^\circ}$.

Это выражение похоже на формулу тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$.

Вынесем множитель 2 за дробь, чтобы привести наше выражение к этой формуле:

$2 \cdot \frac{2\operatorname{tg} 40^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 40^\circ}$.

Применяя формулу тангенса двойного угла для $\alpha = 40^\circ$, получаем:

$2 \cdot \operatorname{tg}(2 \cdot 40^\circ) = 2\operatorname{tg} 80^\circ$.

Ответ: $2\operatorname{tg} 80^\circ$

в) $2\cos^2 25^\circ - 2\cos^2 65^\circ$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(\cos^2 25^\circ - \cos^2 65^\circ)$.

Воспользуемся формулой приведения для косинуса: $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Применим ее к $\cos 65^\circ$: $\cos 65^\circ = \cos(90^\circ - 25^\circ) = \sin 25^\circ$.

Подставим это значение в выражение в скобках:

$2(\cos^2 25^\circ - \sin^2 25^\circ)$.

Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применив эту формулу для $\alpha = 25^\circ$, получаем:

$2\cos(2 \cdot 25^\circ) = 2\cos 50^\circ$.

Ответ: $2\cos 50^\circ$

г) $\frac{\operatorname{tg} 25^\circ}{1 - \operatorname{ctg}^2 65^\circ}$

Используем формулу приведения для котангенса: $\operatorname{ctg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{tg}\alpha$.

Применим ее к $\operatorname{ctg} 65^\circ$: $\operatorname{ctg} 65^\circ = \operatorname{ctg}(90^\circ - 25^\circ) = \operatorname{tg} 25^\circ$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{\operatorname{tg} 25^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 25^\circ}$.

Чтобы привести выражение к формуле тангенса двойного угла $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$, умножим и разделим наше выражение на 2 (или, что то же самое, вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки):

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2\operatorname{tg} 25^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 25^\circ}$.

Теперь мы можем применить формулу тангенса двойного угла для $\alpha = 25^\circ$:

$\frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg}(2 \cdot 25^\circ) = \frac{1}{2}\operatorname{tg} 50^\circ$.

Ответ: $\frac{1}{2}\operatorname{tg} 50^\circ$