Номер 162, страница 314 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

IV. Тригонометрия. Тренировочные упражнения - номер 162, страница 314.

Условие.

162. Сократите дробь:

а) $\frac{\cos 3x + \cos 5x}{\sin 2x}$,

б) $\frac{\sin x + \sin 3x}{\sin 4x}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $\frac{\cos 3x + \cos 5x}{\sin 2x}$

Для преобразования числителя используем формулу суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

В нашем случае, поменяв слагаемые местами для удобства, $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$:

$\cos 5x + \cos 3x = 2 \cos\frac{5x + 3x}{2} \cos\frac{5x - 3x}{2} = 2 \cos\frac{8x}{2} \cos\frac{2x}{2} = 2 \cos 4x \cos x$.

Знаменатель преобразуем по формуле синуса двойного угла:

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{2 \cos 4x \cos x}{2 \sin x \cos x}$.

Сократим общие множители $2$ и $\cos x$ (при условии, что $\sin 2x \neq 0$, что также исключает случаи, когда $\cos x = 0$).

$\frac{\cancel{2} \cos 4x \cancel{\cos x}}{\cancel{2} \sin x \cancel{\cos x}} = \frac{\cos 4x}{\sin x}$.

Ответ: $\frac{\cos 4x}{\sin x}$.

б) $\frac{\sin x + \sin 3x}{\sin 4x}$

Для преобразования числителя используем формулу суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

В нашем случае, поменяв слагаемые местами, $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$\sin 3x + \sin x = 2 \sin\frac{3x + x}{2} \cos\frac{3x - x}{2} = 2 \sin\frac{4x}{2} \cos\frac{2x}{2} = 2 \sin 2x \cos x$.

Знаменатель преобразуем по формуле синуса двойного угла, представив $4x$ как $2 \cdot (2x)$:

$\sin 4x = \sin(2 \cdot (2x)) = 2 \sin 2x \cos 2x$.

Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{2 \sin 2x \cos x}{2 \sin 2x \cos 2x}$.

Сократим общие множители $2$ и $\sin 2x$ (при условии, что $\sin 4x \neq 0$, что также исключает случаи, когда $\sin 2x = 0$).

$\frac{\cancel{2} \cancel{\sin 2x} \cos x}{\cancel{2} \cancel{\sin 2x} \cos 2x} = \frac{\cos x}{\cos 2x}$.

Ответ: $\frac{\cos x}{\cos 2x}$.