Номер 20, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 20, страница 297.

Условие.

20. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его диагональ равна 13 см.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, большая сторона на 7 см больше, значит, ее длина составляет $(x + 7)$ см.

Диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника являются катетами этих треугольников, а диагональ — их общей гипотенузой.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применим эту теорему к нашему прямоугольнику:

$x^2 + (x + 7)^2 = 13^2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169$
$2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0$
$2x^2 + 14x - 120 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 7x - 60 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, корень $x = -12$ не является решением задачи. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна 5 см.

Найдем большую сторону:

$x + 7 = 5 + 7 = 12$ см.

Проверим: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Условие выполняется.

Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 12 см.