Номер 23, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 23, страница 297.

Условие.

23.

Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить эту работу на 4 часа быстрее, чем другой. За сколько часов каждый экскаватор в отдельности может выполнить этот объем земляных работ?

Решение.

Решение 2 (rus).

Примем весь объем земляных работ за 1.

Пусть время, за которое первый (более быстрый) экскаватор выполняет всю работу, равно $x$ часов. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за час) составляет $\frac{1}{x}$.

Согласно условию, второй экскаватор выполняет эту же работу на 4 часа дольше. Следовательно, его время работы равно $(x + 4)$ часа, а его производительность — $\frac{1}{x+4}$.

Два экскаватора, работая вместе, выполняют работу за 3 часа 45 минут. Переведем это время в часы. Так как в одном часе 60 минут, 45 минут — это $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ часа. Таким образом, совместное время работы составляет $3 + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ часа.

Совместная производительность двух экскаваторов равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$. Также совместную производительность можно найти, разделив объем работы (1) на совместное время ($\frac{15}{4}$), что дает $1 / (\frac{15}{4}) = \frac{4}{15}$.

Составим уравнение, приравняв два выражения для совместной производительности:

$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} = \frac{4}{15} $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+4)$:

$ \frac{x+4+x}{x(x+4)} = \frac{4}{15} $

$ \frac{2x+4}{x^2+4x} = \frac{4}{15} $

Воспользуемся свойством пропорции ("крест-накрест"):

$ 15(2x+4) = 4(x^2+4x) $

$ 30x + 60 = 4x^2 + 16x $

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 4x^2 + 16x - 30x - 60 = 0 $

$ 4x^2 - 14x - 60 = 0 $

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$ 2x^2 - 7x - 30 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5 $

Корень $x_2 = -2.5$ не имеет физического смысла, так как время не может быть отрицательной величиной. Следовательно, он не является решением задачи.

Единственный подходящий корень $x = 6$. Это время работы первого (быстрого) экскаватора в часах.

Время работы второго экскаватора: $x + 4 = 6 + 4 = 10$ часов.

Ответ: один экскаватор может выполнить весь объем работ за 6 часов, а другой — за 10 часов.