Номер 30, страница 298 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 30, страница 298.

Условие.

30. Подберите две какие-либо пары чисел, являющиеся решениями неравенства:

а) $1/x - y > 0$;

б) $x^2 - y^2 > 4$;

в) $x^2 + y^2 \leq 15$;

г) $-2x^2 + y \geq 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Неравенство можно переписать в виде $y < \frac{1}{x}$. Также необходимо учесть, что $x \ne 0$. Наша задача — найти две пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому условию.

Пара 1. Выберем $x = 1$. Тогда неравенство примет вид $y < \frac{1}{1}$, то есть $y < 1$. Возьмем любое число, меньшее 1, например, $y = 0$.
Проверим: подставив $x=1$ и $y=0$ в исходное неравенство, получим $\frac{1}{1} - 0 = 1$. Так как $1 > 0$, неравенство выполняется. Пара $(1, 0)$ является решением.

Пара 2. Выберем $x = -2$. Тогда неравенство примет вид $y < \frac{1}{-2}$, то есть $y < -0.5$. Возьмем любое число, меньшее -0.5, например, $y = -1$.
Проверим: подставив $x=-2$ и $y=-1$ в исходное неравенство, получим $\frac{1}{-2} - (-1) = -0.5 + 1 = 0.5$. Так как $0.5 > 0$, неравенство выполняется. Пара $(-2, -1)$ является решением.

Ответ: $(1, 0)$ и $(-2, -1)$.

б) Для неравенства $x^2 - y^2 > 4$ нужно найти две пары $(x, y)$, для которых разность квадратов $x$ и $y$ будет больше 4. Это будет выполняться, если значение $x^2$ будет достаточно большим по сравнению со значением $y^2$.

Пара 1. Возьмем $x = 3$ и $y = 1$.
Проверим: $3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$. Так как $8 > 4$, неравенство выполняется. Пара $(3, 1)$ является решением.

Пара 2. Возьмем $x = -4$ и $y = 2$.
Проверим: $(-4)^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$. Так как $12 > 4$, неравенство выполняется. Пара $(-4, 2)$ является решением.

Ответ: $(3, 1)$ и $(-4, 2)$.

в) Неравенство $x^2 + y^2 \le 15$ описывает все точки на плоскости, которые находятся внутри круга с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{15}$ (включая границу круга). Приблизительное значение радиуса $R \approx 3.87$. Нужно выбрать две точки из этой области.

Пара 1. Возьмем точку в центре круга, $x = 0$ и $y = 0$.
Проверим: $0^2 + 0^2 = 0$. Так как $0 \le 15$, неравенство выполняется. Пара $(0, 0)$ является решением.

Пара 2. Возьмем другую точку внутри круга, например, $x = 2$ и $y = 3$.
Проверим: $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$. Так как $13 \le 15$, неравенство выполняется. Пара $(2, 3)$ является решением.

Ответ: $(0, 0)$ и $(2, 3)$.

г) Неравенство $-2x^2 + y \ge 0$ можно переписать в виде $y \ge 2x^2$. Это неравенство описывает все точки на плоскости, которые лежат на параболе $y = 2x^2$ или "выше" нее.

Пара 1. Возьмем $x = 1$. Тогда должно выполняться условие $y \ge 2 \cdot 1^2$, то есть $y \ge 2$. Выберем $y=3$.
Проверим: $-2 \cdot 1^2 + 3 = -2 + 3 = 1$. Так как $1 \ge 0$, неравенство выполняется. Пара $(1, 3)$ является решением.

Пара 2. Возьмем $x = 0$. Тогда должно выполняться условие $y \ge 2 \cdot 0^2$, то есть $y \ge 0$. Выберем $y=5$.
Проверим: $-2 \cdot 0^2 + 5 = 0 + 5 = 5$. Так как $5 \ge 0$, неравенство выполняется. Пара $(0, 5)$ является решением.

Ответ: $(1, 3)$ и $(0, 5)$.