Номер 32, страница 298 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 32, страница 298.

Условие.

32. Сколько пар целых чисел являются решениями неравенства:

a) $x^2 + y^2 \leq 0$;

б) $x^2 + y^2 < 1$;

в) $x^2 + y^2 \leq 2$;

г) $|x| + |y| \leq 0?$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Рассмотрим неравенство $x^2 + y^2 \le 0$. Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, их квадраты $x^2$ и $y^2$ являются неотрицательными числами, то есть $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $x^2 + y^2 \ge 0$. Таким образом, неравенство $x^2 + y^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $x^2 + y^2 = 0$. Это равенство верно только тогда, когда оба слагаемых равны нулю: $x^2 = 0$ и $y^2 = 0$. Отсюда следует, что $x=0$ и $y=0$. Существует только одна пара целых чисел, удовлетворяющая этому условию: $(0, 0)$. Ответ: 1

б) Рассмотрим неравенство $x^2 + y^2 < 1$. Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $x^2$ и $y^2$ — неотрицательные целые числа. Их сумма $x^2 + y^2$ также является неотрицательным целым числом. Неравенству $x^2 + y^2 < 1$ удовлетворяет только одно целое число — 0. Следовательно, неравенство равносильно уравнению $x^2 + y^2 = 0$. Как и в предыдущем пункте, единственным решением этого уравнения в целых числах является пара $(0, 0)$. Ответ: 1

в) Рассмотрим неравенство $x^2 + y^2 \le 2$. Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, сумма их квадратов $x^2 + y^2$ может принимать целые значения 0, 1 или 2. Разберем каждый возможный случай. Случай 1: $x^2 + y^2 = 0$. Единственное решение — пара $(0, 0)$. Это 1 пара.Случай 2: $x^2 + y^2 = 1$. Это возможно, если один из квадратов равен 1, а другой 0. Если $x^2=1$, то $x=\pm 1$, а $y^2=0$, то $y=0$, что дает пары $(1, 0)$ и $(-1, 0)$. Если же $x^2=0$, то $x=0$, а $y^2=1$, то $y=\pm 1$, что дает пары $(0, 1)$ и $(0, -1)$. Всего для этого случая 4 пары.Случай 3: $x^2 + y^2 = 2$. Единственный способ представить 2 как сумму двух квадратов целых чисел — это $1+1$. Значит, $x^2=1$ и $y^2=1$, откуда $x=\pm 1$ и $y=\pm 1$. Это дает 4 пары: $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$. Суммируя количество пар из всех случаев, получаем общее количество решений: $1 + 4 + 4 = 9$. Ответ: 9

г) Рассмотрим неравенство $|x| + |y| \le 0$. Модуль любого целого числа — это неотрицательное число, то есть $|x| \ge 0$ и $|y| \ge 0$. Их сумма также неотрицательна: $|x| + |y| \ge 0$. Совмещая это с исходным неравенством, получаем, что оно может выполняться только при условии $|x| + |y| = 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю: $|x|=0$ и $|y|=0$. Это означает, что $x=0$ и $y=0$. Следовательно, существует только одна пара целых чисел, являющаяся решением: $(0, 0)$. Ответ: 1