Номер 34, страница 298 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 34, страница 298.

Условие.

34. Изобразите на координатной плоскости множество всех решений неравенства:

а) $y \ge x^2$

б) $x^2 + y^2 \le 2\frac{1}{4}$

в) $y > x-2$

г) $y < -|x|$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Рассмотрим неравенство $y \ge x^2$.
1. Сначала построим график граничной функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.
2. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), то все точки, лежащие на параболе, являются решениями. Поэтому границу изображаем сплошной линией.
3. Чтобы определить, какая из областей (внутри параболы или снаружи) является решением, возьмем пробную точку, не лежащую на границе. Удобно взять точку (0, 1), которая находится "выше" вершины параболы. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $1 \ge 0^2$, что равносильно $1 \ge 0$. Это верное неравенство.
4. Следовательно, множество решений включает в себя все точки, лежащие выше параболы, а также саму параболу.
Ответ: Множеством решений является область, расположенная выше параболы $y = x^2$, включая точки самой параболы.

б) Рассмотрим неравенство $x^2 + y^2 \le 2\frac{1}{4}$.
1. Преобразуем правую часть: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} = (1.5)^2$. Неравенство принимает вид $x^2 + y^2 \le (1.5)^2$.
2. Граничная линия задается уравнением $x^2 + y^2 = (1.5)^2$. Это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = 1.5$.
3. Неравенство нестрогое ($ \le $), поэтому точки на самой окружности являются решениями. Границу изображаем сплошной линией.
4. Возьмем пробную точку внутри окружности, например, начало координат (0, 0). Подставим в неравенство: $0^2 + 0^2 \le 2\frac{1}{4}$, что равносильно $0 \le 2.25$. Это верное неравенство.
5. Значит, все точки внутри окружности и на ее границе удовлетворяют неравенству.
Ответ: Множеством решений является круг с центром в точке (0, 0) и радиусом 1.5, включая его границу (окружность).

в) Рассмотрим неравенство $y > x - 2$.
1. Граничная линия задается уравнением $y = x - 2$. Это прямая линия с угловым коэффициентом 1, проходящая через точки (0, -2) и (2, 0).
2. Неравенство строгое ($ > $), поэтому точки, лежащие на прямой, не являются решениями. Границу изображаем пунктирной (штриховой) линией.
3. Возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат (0, 0). Подставим в неравенство: $0 > 0 - 2$, что равносильно $0 > -2$. Это верное неравенство.
4. Следовательно, множество решений — это полуплоскость, которая содержит точку (0, 0). Это область, расположенная выше прямой $y = x - 2$.
Ответ: Множеством решений является открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = x - 2$. Сама прямая в множество решений не входит.

г) Рассмотрим неравенство $y < -|x|$.
1. Граничная линия задается уравнением $y = -|x|$. Раскроем модуль:
$y = -x$, если $x \ge 0$.
$y = -(-x) = x$, если $x < 0$.
Графиком является объединение двух лучей, исходящих из начала координат: $y = -x$ для $x \ge 0$ и $y = x$ для $x < 0$. Визуально это "перевернутая галочка" с вершиной в точке (0, 0).
2. Неравенство строгое ($ < $), поэтому точки на граничных лучах не являются решениями. Границу изображаем пунктирной линией.
3. Начало координат лежит на границе, поэтому в качестве пробной точки выберем точку, лежащую под вершиной, например, (0, -1). Подставим ее координаты в неравенство: $-1 < -|0|$, что равносильно $-1 < 0$. Это верное неравенство.
4. Следовательно, множество решений — это область, расположенная под графиком функции $y = -|x|$.
Ответ: Множеством решений является область, расположенная ниже графика функции $y = -|x|$ (то есть между лучами $y=x$ при $x<0$ и $y=-x$ при $x>0$), не включая сам график.