Номер 37, страница 298 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 37, страница 298.

Условие.

37. Подберите две какие-либо пары чисел, являющиеся решениями системы неравенств:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 9, \\ y \geq 0; \end{cases}$ б) $\begin{cases} x^2 - y^2 \geq 4, \\ x < 0; \end{cases}$ в) $\begin{cases} 1 < x < 5, \\ y \geq x^2; \end{cases}$ г) $\begin{cases} -10 \leq y \leq -4, \\ x^2 \leq y^2. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дана система неравенств $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ y \ge 0 \end{cases}$. Первое неравенство, $x^2 + y^2 \le 9$, задает множество точек, находящихся внутри или на окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Второе неравенство, $y \ge 0$, ограничивает решения верхней полуплоскостью, включая ось абсцисс. Таким образом, решением системы является верхний полукруг радиуса 3, включая его границу. Нам нужно подобрать две пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этим условиям.
Пара 1: Возьмем точку $(1, 1)$.
Проверим выполнение неравенств:
1) $1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$. Так как $2 \le 9$, первое неравенство выполняется.
2) $y = 1$, и $1 \ge 0$. Второе неравенство также выполняется.
Следовательно, пара $(1, 1)$ является решением.
Пара 2: Возьмем точку $(0, 2)$.
Проверим выполнение неравенств:
1) $0^2 + 2^2 = 0 + 4 = 4$. Так как $4 \le 9$, первое неравенство выполняется.
2) $y = 2$, и $2 \ge 0$. Второе неравенство также выполняется.
Следовательно, пара $(0, 2)$ является решением.

Ответ: $(1, 1)$ и $(0, 2)$.

б) Дана система неравенств $\begin{cases} x^2 - y^2 \ge 4 \\ x < 0 \end{cases}$. Первое неравенство, $x^2 - y^2 \ge 4$, описывает область, которая включает ветви гиперболы $x^2 - y^2 = 4$ и области "вне" этих ветвей (слева от левой ветви и справа от правой). Второе неравенство, $x < 0$, ограничивает решение левой полуплоскостью. Таким образом, мы ищем точки, которые лежат на левой ветви гиперболы или левее нее.
Пара 1: Выберем значение $x = -3$, которое удовлетворяет условию $x < 0$.
Подставим его в первое неравенство: $(-3)^2 - y^2 \ge 4 \implies 9 - y^2 \ge 4 \implies y^2 \le 5$.
Это означает, что $-\sqrt{5} \le y \le \sqrt{5}$. Мы можем выбрать любое значение $y$ в этом диапазоне, например, $y = 0$.
Проверим пару $(-3, 0)$: $x = -3 < 0$ и $(-3)^2 - 0^2 = 9 \ge 4$. Оба условия выполнены. Пара $(-3, 0)$ является решением.
Пара 2: Выберем значение $x = -4$, которое удовлетворяет условию $x < 0$.
Подставим его в первое неравенство: $(-4)^2 - y^2 \ge 4 \implies 16 - y^2 \ge 4 \implies y^2 \le 12$.
Это означает, что $-\sqrt{12} \le y \le \sqrt{12}$. Выберем, например, $y = 1$.
Проверим пару $(-4, 1)$: $x = -4 < 0$ и $(-4)^2 - 1^2 = 15 \ge 4$. Оба условия выполнены. Пара $(-4, 1)$ является решением.

Ответ: $(-3, 0)$ и $(-4, 1)$.

в) Дана система неравенств $\begin{cases} 1 < x < 5 \\ y \ge x^2 \end{cases}$. Первое неравенство, $1 < x < 5$, означает, что координата $x$ должна лежать в интервале от 1 до 5, не включая концы. Второе неравенство, $y \ge x^2$, задает область на параболе $y = x^2$ и выше нее. Нам нужно найти точки, которые удовлетворяют обоим условиям.
Пара 1: Выберем значение $x$ из интервала $(1, 5)$, например, $x = 2$.
Тогда второе неравенство принимает вид $y \ge 2^2$, то есть $y \ge 4$.
Выберем любое значение $y$, удовлетворяющее этому условию, например, $y = 5$.
Проверим пару $(2, 5)$: $1 < 2 < 5$ (верно) и $5 \ge 2^2 = 4$ (верно). Пара $(2, 5)$ является решением.
Пара 2: Выберем другое значение $x$ из интервала $(1, 5)$, например, $x = 3$.
Тогда второе неравенство принимает вид $y \ge 3^2$, то есть $y \ge 9$.
Выберем, например, $y = 10$.
Проверим пару $(3, 10)$: $1 < 3 < 5$ (верно) и $10 \ge 3^2 = 9$ (верно). Пара $(3, 10)$ является решением.

Ответ: $(2, 5)$ и $(3, 10)$.

г) Дана система неравенств $\begin{cases} -10 \le y \le -4 \\ x^2 \le y^2 \end{cases}$. Первое неравенство, $-10 \le y \le -4$, задает для $y$ замкнутый промежуток, из которого следует, что $y$ - отрицательное число. Второе неравенство, $x^2 \le y^2$, можно переписать как $|x| \le |y|$. Поскольку $y < 0$, то $|y| = -y$. Таким образом, второе неравенство принимает вид $|x| \le -y$.
Пара 1: Выберем значение $y$ из отрезка $[-10, -4]$, например, $y = -5$.
Первое неравенство $-10 \le -5 \le -4$ очевидно выполняется.
Второе неравенство становится $x^2 \le (-5)^2$, то есть $x^2 \le 25$, что эквивалентно $-5 \le x \le 5$.
Возьмем любое значение $x$ из этого интервала, например, $x = 0$.
Проверим пару $(0, -5)$: $-10 \le -5 \le -4$ (верно) и $0^2 \le (-5)^2 \implies 0 \le 25$ (верно). Пара $(0, -5)$ является решением.
Пара 2: Выберем другое значение $y$, например, $y = -8$.
Первое неравенство $-10 \le -8 \le -4$ выполняется.
Второе неравенство становится $x^2 \le (-8)^2$, то есть $x^2 \le 64$, что эквивалентно $-8 \le x \le 8$.
Возьмем значение $x=3$.
Проверим пару $(3, -8)$: $-10 \le -8 \le -4$ (верно) и $3^2 \le (-8)^2 \implies 9 \le 64$ (верно). Пара $(3, -8)$ является решением.

Ответ: $(0, -5)$ и $(3, -8)$.