Номер 42, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

II. Элементы комбинаторики. Тренировочные упражнения - номер 42, страница 299.

Условие.

42. В дельтоиде (так называют четырехугольник, изображенный на рисунке 3) проведены диагонали. Сколько всего получилось на этом рисунке:

а) треугольников;

б) пар равных треугольников?

Рисунок 3

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы посчитать общее количество треугольников на рисунке, перечислим их все.
На рисунке можно выделить следующие группы треугольников:
1. Четыре малых треугольника, на которые диагонали делят дельтоид: $ \triangle ABO, \triangle BCO, \triangle CDO, \triangle ADO $.
2. Четыре больших треугольника, которые получаются при делении дельтоида каждой из диагоналей по отдельности: $ \triangle ABC, \triangle ADC, \triangle ABD, \triangle CBD $.
Сложив количество треугольников из обеих групп, получаем общее количество: $ 4 + 4 = 8 $.
Ответ: 8 треугольников.

б) Чтобы найти пары равных треугольников, воспользуемся свойствами дельтоида. Согласно отметкам на рисунке, у дельтоида $ABCD$ равны смежные стороны: $AB = BC$ и $AD = CD$.
Рассмотрим поочередно возможные пары треугольников.

1. Треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $
- Сторона $AB$ равна стороне $CB$ (по условию).
- Сторона $AD$ равна стороне $CD$ (по условию).
- Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.
Следовательно, $ \triangle ABD \cong \triangle CBD $ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Это первая пара равных треугольников.

2. Треугольники $ \triangle ABO $ и $ \triangle CBO $
- Сторона $AB$ равна стороне $CB$ (по условию).
- Сторона $BO$ является общей.
- Угол $ \angle ABO $ равен углу $ \angle CBO $, так как они являются соответственными углами в равных треугольниках $ \triangle ABD $ и $ \triangle CBD $.
Следовательно, $ \triangle ABO \cong \triangle CBO $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Это вторая пара равных треугольников.

3. Треугольники $ \triangle ADO $ и $ \triangle CDO $
- Сторона $AD$ равна стороне $CD$ (по условию).
- Сторона $DO$ является общей.
- Угол $ \angle ADO $ равен углу $ \angle CDO $ (из равенства треугольников $ \triangle ABD \cong \triangle CBD $).
Следовательно, $ \triangle ADO \cong \triangle CDO $ по первому признаку равенства треугольников. Это третья пара равных треугольников.

Других пар равных треугольников на рисунке нет. Таким образом, всего получилось 3 пары.
Ответ: 3 пары равных треугольников.