Номер 41, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 41, страница 299.

Условие.

41. Сколько пар целых чисел являются решениями системы неравенств (покажите их точками на координатной плоскости):

a) $\begin{cases} |x| < 1, \\ x^2 + y^2 \le 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} |y| < 2, \\ x^2 + y^2 < 4? \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Требуется найти все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющие системе неравенств:
$\begin{cases} |x| < 1, \\ x^2 + y^2 \le 4\end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $|x| < 1$. Это неравенство равносильно системе $-1 < x < 1$. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, это $x = 0$.

Теперь подставим найденное значение $x = 0$ во второе неравенство системы:
$0^2 + y^2 \le 4$
$y^2 \le 4$

Это неравенство равносильно $|y| \le 2$, или $-2 \le y \le 2$. Целые числа $y$, которые удовлетворяют этому условию: -2, -1, 0, 1, 2.

Таким образом, мы получаем следующие пары целых чисел, являющиеся решениями системы:
(0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2).

На координатной плоскости это 5 точек, лежащих на оси OY.

Всего 5 пар целых чисел.

Ответ: 5 пар: (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2).

б) Требуется найти все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющие системе неравенств:
$\begin{cases} |y| < 2, \\ x^2 + y^2 < 4\end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $|y| < 2$. Это неравенство равносильно системе $-2 < y < 2$. Целые значения $y$, удовлетворяющие этому условию: -1, 0, 1.

Теперь рассмотрим второе неравенство $x^2 + y^2 < 4$ для каждого возможного целого значения $y$.

1. Пусть $y = -1$. Подставим в второе неравенство:
$x^2 + (-1)^2 < 4$
$x^2 + 1 < 4$
$x^2 < 3$
Это неравенство равносильно $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.73$, целые значения $x$, удовлетворяющие этому условию, это -1, 0, 1.
Получаем пары: (-1, -1), (0, -1), (1, -1).

2. Пусть $y = 0$. Подставим в второе неравенство:
$x^2 + 0^2 < 4$
$x^2 < 4$
Это неравенство равносильно $-2 < x < 2$. Целые значения $x$, удовлетворяющие этому условию, это -1, 0, 1.
Получаем пары: (-1, 0), (0, 0), (1, 0).

3. Пусть $y = 1$. Подставим в второе неравенство:
$x^2 + 1^2 < 4$
$x^2 + 1 < 4$
$x^2 < 3$
Это неравенство равносильно $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$. Целые значения $x$, удовлетворяющие этому условию, это -1, 0, 1.
Получаем пары: (-1, 1), (0, 1), (1, 1).

Суммируя все найденные пары, получаем:
(-1, -1), (0, -1), (1, -1),
(-1, 0), (0, 0), (1, 0),
(-1, 1), (0, 1), (1, 1).

На координатной плоскости это 9 точек.

Всего $3 + 3 + 3 = 9$ пар целых чисел.

Ответ: 9 пар: (-1, -1), (0, -1), (1, -1), (-1, 0), (0, 0), (1, 0), (-1, 1), (0, 1), (1, 1).