Номер 43, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

II. Элементы комбинаторики. Тренировочные упражнения - номер 43, страница 299.

Условие.

43. Из вершины угла $AOD$ проведены два луча $OB$ и $OC$, делящие его на три равных угла (рисунок 4). Сколько всего получилось на этом рисунке:

а) углов;

б) пар равных углов?

Рисунок 3

Рисунок 4

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

На рисунке изображены 4 луча, выходящие из одной вершины О: ОА, ОВ, ОС и OD. Угол образуется парой лучей с общим началом. Чтобы найти общее количество углов, нужно найти количество способов выбрать 2 луча из 4. Это можно сделать с помощью комбинаторики.

Количество сочетаний из $n$ по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=4$ (количество лучей), а $k=2$ (для образования угла нужно 2 луча).

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Также можно перечислить все углы, чтобы убедиться:
1. Углы, состоящие из одной части: $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$ (3 угла).
2. Углы, состоящие из двух частей: $\angle AOC$, $\angle BOD$ (2 угла).
3. Угол, состоящий из трех частей: $\angle AOD$ (1 угол).
Всего: $3 + 2 + 1 = 6$ углов.

Ответ: 6.

б)

По условию задачи, лучи ОВ и ОС делят угол AOD на три равных угла. Обозначим величину этих равных углов через $x$.

Тогда: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = x$.

Найдем величины остальных углов, которые мы нашли в пункте а):
$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = x + x = 2x$.
$\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = x + x = 2x$.
$\angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = x + x + x = 3x$.

Теперь найдем все пары равных углов, сгруппировав их по величине:
1. Углы величиной $x$: $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$. Из этих трех углов можно составить 3 пары равных углов: ($\angle AOB, \angle BOC$), ($\angle AOB, \angle COD$), ($\angle BOC, \angle COD$).
2. Углы величиной $2x$: $\angle AOC$, $\angle BOD$. Из этих двух углов можно составить 1 пару равных углов: ($\angle AOC, \angle BOD$).
3. Угол величиной $3x$: $\angle AOD$. Он один, поэтому пар не образует.

Суммируем количество пар: $3 + 1 = 4$.

Ответ: 4.