Номер 40, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 40, страница 299.

Условие.

40. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты (x; y) которых являются решениями системы неравенств:

a)

$\begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ x > 0 \end{cases}$

б)

$\begin{cases} x^2 + y^2 \ge 1 \\ y \ge 0 \end{cases}$

в)

$\begin{cases} x + y > 0 \\ xy \le 0 \end{cases}$

г)

$\begin{cases} x - y < 0 \\ xy \ge 0 \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ x > 0 \end{cases} $$ Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает множество точек, расположенных внутри и на границе окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Эта область представляет собой круг.
Второе неравенство $x > 0$ задает правую полуплоскость, то есть все точки, у которых абсцисса положительна. Граница этой области, ось $Oy$ ($x=0$), не включается в множество решений.
Искомое множество точек является пересечением этих двух областей. Это правая половина круга $x^2 + y^2 \le 4$. Граница множества состоит из дуги окружности в правой полуплоскости и диаметра, лежащего на оси $Oy$. Так как неравенство $x>0$ строгое, точки на оси $Oy$ не входят в решение, поэтому диаметр не является частью решения. Точки на дуге окружности удовлетворяют обоим неравенствам, поэтому дуга является частью решения.
Ответ: Множество точек представляет собой правый полукруг с центром в начале координат и радиусом 2. Дуга окружности, являющаяся частью границы, включается в множество, а диаметр, лежащий на оси $Oy$, не включается.

б) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \ge 1 \\ y \ge 0 \end{cases} $$ Первое неравенство $x^2 + y^2 \ge 1$ задает множество точек, расположенных вне и на границе окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{1} = 1$.
Второе неравенство $y \ge 0$ задает верхнюю полуплоскость, включая ее границу — ось $Ox$.
Искомое множество точек является пересечением этих двух областей. Это часть верхней полуплоскости, из которой удален открытый полукруг радиусом 1 с центром в начале координат. Граница искомого множества состоит из верхней полуокружности $x^2 + y^2 = 1$ ($y \ge 0$) и частей оси $Ox$, где $|x| \ge 1$. Так как оба неравенства нестрогие, вся граница включается в искомое множество.
Ответ: Множество точек представляет собой верхнюю полуплоскость ($y \ge 0$), из которой удален полукруг $x^2+y^2 < 1$, $y \ge 0$. Граница множества, состоящая из полуокружности $x^2+y^2=1$ ($y \ge 0$) и лучей оси $Ox$ ($y=0, x \ge 1$ и $y=0, x \le -1$), включается в решение.

в) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x + y > 0 \\ xy \le 0 \end{cases} $$ Первое неравенство $x + y > 0$ можно переписать как $y > -x$. Оно задает открытую полуплоскость, расположенную выше прямой $y = -x$. Сама прямая в решение не входит.
Второе неравенство $xy \le 0$ выполняется, когда $x$ и $y$ имеют разные знаки ($x > 0, y < 0$ или $x < 0, y > 0$) или когда хотя бы одна из координат равна нулю. Эта область представляет собой второй и четвертый координатные углы (четверти) вместе с осями координат.
Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это часть второго и четвертого координатных углов, которая лежит выше прямой $y = -x$.
Граница области состоит из лучей, лежащих на прямой $y=-x$, и лучей, лежащих на осях координат.
- Лучи на прямой $y = -x$ не включаются в решение, так как неравенство $y > -x$ строгое.
- Лучи на осях координат: - Положительная часть оси $Ox$ ($x > 0, y=0$): $x+0>0$ (верно), $x \cdot 0 = 0 \le 0$ (верно). Включается в решение. - Положительная часть оси $Oy$ ($x=0, y>0$): $0+y>0$ (верно), $0 \cdot y = 0 \le 0$ (верно). Включается в решение. - Отрицательные части осей и начало координат не удовлетворяют первому неравенству.
Ответ: Множество точек состоит из двух областей. Первая — часть второй четверти, лежащая выше прямой $y=-x$. Вторая — часть четвертой четверти, лежащая выше прямой $y=-x$. Границами являются лучи. Лучи, лежащие на прямой $y=-x$, не включаются в решение. Луч на положительной части оси $Ox$ и луч на положительной части оси $Oy$ (без начала координат) включаются в решение.

г) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x - y < 0 \\ xy \ge 0 \end{cases} $$ Первое неравенство $x - y < 0$ можно переписать как $y > x$. Оно задает открытую полуплоскость, расположенную выше прямой $y = x$. Сама прямая в решение не входит.
Второе неравенство $xy \ge 0$ выполняется, когда $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки ($x > 0, y > 0$ или $x < 0, y < 0$) или когда хотя бы одна из координат равна нулю. Эта область представляет собой первый и третий координатные углы (четверти) вместе с осями координат.
Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это часть первого и третьего координатных углов, которая лежит выше прямой $y = x$.
Граница области состоит из лучей, лежащих на прямой $y=x$, и лучей, лежащих на осях координат.
- Лучи на прямой $y = x$ не включаются в решение, так как неравенство $y > x$ строгое.
- Лучи на осях координат: - Положительная часть оси $Oy$ ($x=0, y>0$): $0-y<0$ (верно), $0 \cdot y = 0 \ge 0$ (верно). Включается в решение. - Отрицательная часть оси $Ox$ ($x<0, y=0$): $x-0<0$ (верно), $x \cdot 0 = 0 \ge 0$ (верно). Включается в решение. - Положительная часть оси $Ox$, отрицательная часть оси $Oy$ и начало координат не удовлетворяют первому неравенству.
Ответ: Множество точек представляет собой открытый вертикальный угол. Одна часть угла находится в первой четверти и ограничена прямой $y=x$ и положительной частью оси $Oy$. Другая часть находится в третьей четверти и ограничена прямой $y=x$ и отрицательной частью оси $Ox$. Лучи, лежащие на прямой $y=x$, не включаются в решение. Луч на положительной части оси $Oy$ и луч на отрицательной части оси $Ox$ (без начала координат) включаются в решение.